Эрнст Цермело

Аксиоматика, которой пользуется вся современная математика, появилась не как замысел, а как ответ в споре: Цермело выписал её, чтобы показать критикам, чем именно он пользовался.

Скандал

В 1904 году он доказал теорему о вполне упорядочении: всякое множество можно вполне упорядочить, то есть расположить так, чтобы у любого непустого подмножества был наименьший элемент.

Утверждение было в списке Гильберта первым пунктом первой проблемы. Доказательство заняло страницу и опиралось на допущение, которое Цермело выделил явно: из любого семейства непустых множеств можно выбрать по элементу из каждого.

Это аксиома выбора, и на неё обрушились все. Для конечного семейства выбор очевиден; для бесконечного он требует «сделать бесконечно много произвольных выборов», не указав правила. Борель, Бэр, Лебег писали, что так рассуждать нельзя; Пуанкаре ворчал; во Франции спор шёл в письмах, которые потом напечатали отдельным сборником.

Забавно, что почти все критики сами пользовались аксиомой выбора, не замечая этого, — Цермело в ответной работе 1908 года это и показал, перечислив места в их собственных доказательствах.

Аксиоматика

Тогда же, в 1908-м, он сделал то, ради чего его помнят: выписал теорию множеств списком аксиом.

До этого множество понималось наивно — как «любое собрание объектов», — и письмо Рассела Фреге показало, чем это кончается. Цермело ограничил образование множеств: нельзя собрать множество по любому свойству, можно только выделить подмножество из уже имеющегося множества (аксиома выделения). Парадокс Рассела при этом не строится.

Систему потом дважды достраивали: в 1922 году Абрахам Френкель и независимо Туральф Сколем добавили схему замещения, позже прибавилась аксиома регулярности. Получилась ZF, а с аксиомой выбора — ZFC, тот самый фундамент, на котором формально стоит почти вся математика. Буква C в конце — от английского choice.

Дальнейшая судьба аксиомы выбора поучительна: Гёдель (1938) и Коэн (1963) показали, что она не выводится из остальных аксиом и не противоречит им. Спорить, «верна» ли она, оказалось бессмысленно; можно только выбирать, работать с ней или без.

Шахматы и уха

Ему же принадлежит теорема Цермело (1913) — первая теорема теории игр: в конечной игре двух лиц с полной информацией и без случайности либо у одного игрока есть выигрышная стратегия, либо у обоих — ничейная. Про шахматы отсюда следует, что исход определён; какой именно — неизвестно.

В физике он известен парадоксом возвращаемости: опираясь на теорему Пуанкаре о возвращении, он возражал Больцману, что механическая система обязана рано или поздно вернуться в исходное состояние, а значит, энтропия не может расти монотонно. Спор их был жёстким и содержательным; ответ Больцмана — про вероятностный характер второго начала и про времена возвращения, превышающие возраст Вселенной, — стал классикой.

Ему принадлежит и навигационная задача Цермело: как вести корабль в переменном течении, чтобы прийти быстрее всего.

Конец

Судьба сложилась невесело. Болезнь лёгких заставила его в 1916 году оставить кафедру в Цюрихе; во Фрайбурге он в 1935 году лишился права преподавать, отказавшись приветствовать студентов по нацистскому образцу. Восстановлен был в 1946-м, за семь лет до смерти.

Умер в 1953 году во Фрайбурге, восьмидесяти одного года.