Ислам · о кубических уравнениях
Куб через параболу и окружность
Как звучало тогда
Мы решаем эти виды при помощи свойств конических сечений; алгеброй же их решить нельзя, и того, кто скажет, что нашёл такое решение, надлежит выслушать.
Условие
Парабола $x^2=2y$ и окружность $x^2+y^2=4x$ пересекаются, кроме начала координат, ещё в одной точке. Найти её и убедиться, что её абсцисса — корень уравнения $x^3+4x=16$.
Показать ответ
точка $(2;2)$; и в самом деле $2^3+4\cdot2=16$
О чём эта задача
Общий приём Хайяма: пересечение параболы $x^2=cy$ с окружностью $x^2+y^2=dx$ даёт абсциссу, удовлетворяющую $x^3+c^2x=c^2d$. Подставьте $y=x^2/c$ в уравнение окружности — и получите это сами. Хайям разобрал так все четырнадцать видов кубических уравнений с положительными коэффициентами и оговорил: алгебраического решения он не знает и сомневается, что оно есть. Оно нашлось через четыреста семьдесят лет, у Тартальи и Кардано, — и потребовало чисел, которых во времена Хайяма не существовало.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.