Ислам · ас-Самавал, «Блистательное в алгебре», ок. 1150
Деление, которое не кончается
Условие
Разделить 1 на $1-x$ «столбиком», располагая по возрастающим степеням $x$. Что получится и когда этому можно верить?
Показать ответ
$1+x+x^2+x^3+\ldots$ — деление не кончается; равенство верно при $|x|<1$
О чём эта задача
Ас-Самавал делил многочлены столбиком совершенно так же, как мы делим числа, и получал бесконечные ряды — за пятьсот лет до Ньютона. Проверить частную сумму легко: $(1+x+\ldots+x^n)(1-x)=1-x^{n+1}$, и остаток $x^{n+1}$ стремится к нулю, когда $|x|<1$. Вопроса о сходимости ас-Самавал, разумеется, не ставил — его поставят только в XIX веке. Он же составил таблицу биномиальных коэффициентов и доказал правило её построения рассуждением, которое сегодня назвали бы индукцией.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.