Карта → событие
Plimpton 322: тройки за тысячу лет до Пифагора
Предмет
Глиняная табличка размером примерно 13 × 9 см, куплена в 1922 году Джорджем Плимптоном у торговца древностями и завещана Колумбийскому университету — отсюда номер Plimpton 322 (322-й предмет коллекции). Происхождение — вавилонский город Ларса, датировка около 1800 года до н. э., то есть старовавилонский период.
Сохранились четыре столбца и пятнадцать строк; левый край отломан, и по следам клея видно, что часть текста утрачена. Записи — клинописные, в шестидесятеричной системе.
Последний столбец — просто номер строки. Два средних содержат два числа каждой пифагоровой тройки: меньший катет и гипотенузу. Первый (частично утраченный) — отношение, о котором ниже.
Вот несколько строк в переводе на наши цифры (записаны катет $b$ и гипотенуза $d$; третье число $l$ восстанавливается):
| $b$ | $d$ | $l=\sqrt{d^{2}-b^{2}}$ |
|---|---|---|
| 119 | 169 | 120 |
| 3367 | 4825 | 3456 |
| 4601 | 6649 | 4800 |
| 12709 | 18541 | 13500 |
| 65 | 97 | 72 |
Проверим первую: $119^{2}+120^{2}=14161+14400=28561=169^{2}$. Сходится.
Почему это не могло получиться перебором
Ключевое наблюдение, из-за которого табличка и стала знаменитой. Тройку $(3,4,5)$ или $(5,12,13)$ можно найти, перебирая небольшие числа. Тройку $(12709,\,13500,\,18541)$ перебором не найдёт никто: чтобы наткнуться на неё случайно, нужно проверить порядка $10^{8}$ пар. Значит, у писца был метод.
Наиболее принятая реконструкция (Нейгебауэр и Сакс, 1945) опирается на то, что вавилоняне работали с обратными парами. В шестидесятеричной системе удобны «правильные» числа — те, чьи делители суть только 2, 3 и 5; у них конечная запись обратного. Возьмём такое число $x$ и построим
$$\frac{b}{l}=\frac12\left(x-\frac1x\right),\qquad \frac{d}{l}=\frac12\left(x+\frac1x\right).$$
Тогда автоматически
$$\left(\frac{d}{l}\right)^{2}-\left(\frac{b}{l}\right)^{2}=\frac{(x+1/x)^{2}-(x-1/x)^{2}}{4}=1,$$
то есть $b^{2}+l^{2}=d^{2}$ при любом $x$.
Проверим на первой строке. Возьмём $x=12/5$ — число правильное. Тогда
$$\frac12\left(\frac{12}{5}-\frac{5}{12}\right)=\frac12\cdot\frac{144-25}{60}=\frac{119}{120},\qquad \frac12\left(\frac{12}{5}+\frac{5}{12}\right)=\frac{169}{120}.$$
Получились ровно $b=119$, $l=120$, $d=169$ — первая строка таблички. И так для всех пятнадцати: значения $x$ пробегают правильные числа, а строки упорядочены по убыванию отношения $d/l$, то есть по монотонному изменению формы треугольника.
Современная запись того же правила: при $x=p/q$ получаются
$$b=p^{2}-q^{2},\qquad l=2pq,\qquad d=p^{2}+q^{2}$$
— знакомая параметризация пифагоровых троек, которую европейская математика запишет у ЕвклидаЕвклидАвтор книги, которая две тысячи лет была вторым по тиражу текстом после Библии, — и о котором самом не известно почти ничего. (X книга, лемма 1) и окончательно оформит у ДиофантаДиофант АлександрийскийПервым стал решать уравнения в целых числах и первым ввёл сокращённые обозначения вместо слов — и задал вопрос, на который отвечали до 1994 года..
О чём спорят
Три главные версии назначения таблички.
Учебная таблица задач. Элинор Робсон (2001) показала, что первый столбец естественно читается как величина, нужная в стандартных вавилонских задачах «о тростнике у стены» — про прямоугольный треугольник с известной разностью сторон. По этой версии перед нами заготовка учителя: набор чисел, подобранных так, чтобы ответ выходил «красивым». Эта интерпретация сегодня наиболее авторитетна.
Тригонометрическая таблица. Мэнсфилд и Уайлдбергер (2017) предположили, что это точная тригонометрическая таблица, «лучше современных». Публикация вызвала громкий отклик в прессе и почти единодушное отторжение у историков математики: понятия угла в старовавилонской математике нет, а порядок строк объясняется проще.
Теоретико-числовой интерес. Табличка составлялась ради самих троек.
Спор о мотиве не отменяет факта: числа здесь порождены правилом и упорядочены, а не измерены. Отсюда и принято отсчитывать предысторию теории чисел.
Что вокруг
Отдельно стоит помнить о том, чего у вавилонян не было. Нет ни формулировки общего утверждения («для любых $p,q$…»), ни обоснования, ни понятия простого числа. Есть таблица и, по-видимому, рецепт её построения. Разница между этим и греческой математикой — та же, что между папирусом Ахмеса и «Началами»: разница не в трудности, а в жанре.
Продолжат линию пифагорейцы (Кротон, ок. 530 до н. э.) — но уже не как вычислители, а как философы: совершенные и фигурные числа, учение о том, что число есть устройство мира. Именно у них обнаружится несоизмеримость, и выяснится, что числами, в их понимании, измерить можно не всё.
Задача. Возьмите $x=9/4$ (правильное число) и постройте по формуле $\frac12(x\mp 1/x)$ пифагорову тройку. Проверьте, что она есть в таблице Plimpton 322.
(Ответ: $\frac12\left(\frac94-\frac49\right)=\frac{81-16}{72}=\frac{65}{72}$ и $\frac12\left(\frac94+\frac49\right)=\frac{97}{72}$ — тройка $(65,72,97)$, пятая строка нашей таблицы.)
Следующая точка: Александрия — где о числах впервые спросят «сколько их?» и сумеют ответить.