Рафаэль Бомбелли

Комплексные числа появились не из желания расширить понятие числа, а из тупика: формула для кубического уравнения давала правильный вещественный ответ, только если по дороге извлечь корень из отрицательного числа.

Не университетский математик

Родился в 1526 году в Болонье, в семье торговца шерстью. По профессии инженер-гидравлик: работал у епископа Алессандро Руффини на осушении болот в долине Кьяна в Тоскане, потом на восстановлении моста Санта-Мария в Риме.

Математикой занимался в перерывах — буквально: «Алгебру» он начал писать, когда работы по осушению встали на несколько лет.

Неприводимый случай

Кардано в «Ars Magna» (1545) напечатал формулу для кубического уравнения — и наткнулся на неприятность, названную casus irreducibilis. Когда у уравнения три вещественных корня, формула требует извлечь квадратный корень из отрицательного числа.

Пример, ставший знаменитым: $x^3 = 15x + 4$. Корень очевиден — $x=4$. А формула даёт

$$x=\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{-121}}.$$

Кардано счёл это признаком неприменимости формулы. Бомбелли в «Алгебре» (1572) поступил иначе: согласился считать по правилам, не спрашивая, что такое $\sqrt{-121}$.

Он выписал правила знаков для мнимой единицы — «плюс на минус даёт минус» в его терминологии più di meno и meno di meno — и заметил, что

$$\sqrt[3]{2+11i} = 2+i, \qquad \sqrt[3]{2-11i} = 2-i,$$

а сумма их равна четырём. Мнимые части сократились, и получился настоящий, вещественный корень.

Смысл эпизода: мнимые числа оказались не ответом, а дорогой к ответу. По ним проходят, и на выходе они исчезают. Это единственный довод, который тогда мог сработать, — довод пользы.

Полноправными числами они стали через двести с лишним лет, когда Гаусс дал им геометрический смысл и доказал основную теорему алгебры.

Алгебра как книга

«L'Algebra» замечательна и помимо этого. Бомбелли ввёл почти современные обозначения для степеней, систематически изложил правила действий с отрицательными числами (которые в Европе всё ещё звали «ложными»), разобрал непрерывные дроби для извлечения корней.

Он же обнаружил в Ватиканской библиотеке рукопись «Арифметики» Диофанта и вместе с Антонио Мария Пацци начал перевод; из планировавшихся книг вышли не все, но задачи Диофанта попали в «Алгебру» и через неё — к Ферма.

Умер в 1572 году, вероятно в Риме, в год выхода книги. Из пяти задуманных книг «Алгебры» напечатаны были три; две последние, геометрические, нашли в рукописи только в 1923 году.