Теэтет: пять тел и ни одного больше

Человек, от которого не осталось ни строчки

Теэтет Афинский (ок. 417 — 369 до н. э.) не написал ни одного дошедшего до нас слова. О нём известно из двух источников, и ни один из них не математический.

Первый — диалог Платона «Теэтет», названный его именем. Рамка диалога такая: Теэтета, раненного в бою под Коринфом и умирающего от дизентерии, везут из лагеря в Афины, и его старый учитель Феодор Киренский вспоминает разговор, который был у этого мальчика с Сократом тридцать лет назад. Платон описывает его без всякой лести: некрасивый, курносый, с глазами навыкате — и невероятно быстрый умом.

Второй — схолияпозднейшее примечание на полях рукописи: их оставляли переписчики и читатели, иногда через века после автора к XIII книге «Начал». Там сказано прямо: пирамида, куб и додекаэдр идут от пифагорейцев, а октаэдр и икосаэдр — от Теэтета.

Дальше — обычная для греческой математики осторожность. Правильно говорить не «Теэтет доказал», а «античная традиция приписывает Теэтету». Как и в случае Фалеса, на карте важен не человек, а момент.

Что было известно до него

Тетраэдр и куб не требуют открытия: их видно. Додекаэдр сложнее — но и он был известен задолго до греческой математики. В Италии находят этрусские бронзовые додекаэдры V века до н. э., назначение которых до сих пор не выяснено, а кристаллы пирита растут двенадцатигранниками с пятиугольными гранями.

Тут, впрочем, надо быть точным: грани пиритового кристалла — не правильные пятиугольники, и такой многогранник — его называют пиритоэдромдвенадцатигранник с пятиугольными гранями, но грани у него неправильные: симметрия такая же, как у куба, а не как у икосаэдра — правильным не является. Природа подсказала форму, но не доказательство.

Доказательство, что больше пяти быть не может

Всё держится на одном наблюдении, которое у Евклида стоит предложением XI.21: сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранного угла меньше $360^\circ$, а самих граней при вершине не может быть меньше трёх.

Дальше — перебор, который целиком помещается в таблицу.

Грань	Её угол	3 грани	4 грани	5 граней	6 граней
треугольник	$60^\circ$	$180^\circ$ — тетраэдр	$240^\circ$ — октаэдр	$300^\circ$ — икосаэдр	$360^\circ$ — плоскость
квадрат	$90^\circ$	$270^\circ$ — куб	$360^\circ$ — плоскость	—	—
пятиугольник	$108^\circ$	$324^\circ$ — додекаэдр	$432^\circ$ — много	—	—
шестиугольник	$120^\circ$	$360^\circ$ — плоскость	—	—	—

С семиугольника и дальше угол не меньше $128\tfrac{4}{7}^\circ$, и даже трёх граней уже не сложить. Перебор оборвался. Клеток, в которых получилась пространственная вершина, ровно пять — и правильных многогранников ровно пять.

Обратите внимание, чего это рассуждение не доказывает: что все пять действительно существуют. Перебор отсекает лишнее, но ничего не строит. Построение — содержание всей XIII книги «Начал», и оно куда труднее: каждое тело там вписывается в шар, и вычисляется отношение ребра к диаметру. Двенадцать предложений тяжёлой работы против шести строк перебора.

Доказать, что чего-то нет, часто легче, чем предъявить то, что есть. Для школьного разговора это, пожалуй, важнее самого списка.

Тот же приём сработает ещё дважды

Счёт углов вокруг точки — приём одноразовый на вид, но на карте он встретится ещё дважды.

Через восемь веков Прокл применит его к плоскости: сколько правильных многоугольников сходится вокруг точки без зазора и без наложения? Шесть треугольников, четыре квадрата, три шестиугольника — и всё, паркетов ровно три.

А через двадцать два века Шлефли задаст тот же вопрос в четырёх измерениях, и ответ там окажется неожиданным: правильных тел не пять и не три, а шесть.

Имя досталось не тому

Пять тел называют платоновыми. Платон в «Тимее» раздал их стихиям: тетраэдр — огонь, куб — земля, октаэдр — воздух, икосаэдр — вода, а додекаэдр достался «всему небу». Он ничего не открывал и не доказывал; он взял готовый список и приспособил его к космологической схеме.

Это первое в нашей линии имя, доставшееся не тому, кто нашёл, — и далеко не последнее. Дальше будут формула Герона, принадлежащая АрхимедуАрхимедгреческий математик, механик и инженер · около 287–212 до н. э.Считал площади и объёмы за девятнадцать веков до интегрального исчисления и оставил письмо, в котором честно рассказал, как он на самом деле догадывался до ответов., прямая Симсона, найденная Уоллесом, и окружность Фейербаха, описанная Понселе и Брианшоном. Чем проще утверждение, тем больше людей находят его независимо, и тем случайнее выбор имени.

Следующая точка: Александрия — где пять тел Теэтета станут последней, тринадцатой книгой свода, а первая книга того же свода даст трещину, которую будут заделывать двадцать три века.