Россия · по «Распространению закона больших чисел», 1906
Погода как цепь
Условие
За ясным днём следует ясный с вероятностью $0{,}8$, за дождливым — ясный с вероятностью $0{,}4$. Какая доля дней окажется ясной, если наблюдать достаточно долго? Зависит ли ответ от того, какая погода была в первый день?
Показать ответ
ясных $\frac23$ дней, дождливых $\frac13$; от начального дня ответ не зависит
О чём эта задача
Устойчивая доля находится из условия, что она не меняется за день: $p=0{,}8p+0{,}4(1-p)$, откуда $p=\frac23$. Проверить можно и прогоном: возьмите любое начальное значение и примените правило пятьсот раз — получится то же самое. Независимость от начала не случайна, а есть теорема Маркова: если из любого состояния можно попасть в любое, цепь забывает, откуда началась. На этом же свойстве держится PageRank — доля времени, которое случайный блуждающий по ссылкам проводит на странице, и есть её вес.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.