Индия · «Ганита-каумуди», о рядах
Стадо Нараяны
Как звучало тогда
Корова каждый год приносит телёнка. Телята начинают приносить телят на четвёртом году жизни. Сколько всего коров и телят будет через двадцать лет?
Условие
Корова ежегодно приносит по телёнку; тёлка начинает телиться на четвёртом году жизни. Пусть $a_n$ — число голов в стаде к концу $n$-го года, причём $a_1=a_2=a_3=1$. Составить рекуррентное соотношение и найти $a_{20}$.
Показать ответ
$a_n=a_{n-1}+a_{n-3}$; $a_{20}=872$
О чём эта задача
Обыкновенно ответом задачи Нараяны называют 2745 — это тот же ряд, но взятый тремя годами дальше: $a_{23}$. Расхождение целиком в начальных условиях, и его стоит показать классу: правило одно, а ответ зависит от того, считаем ли мы первую корову новорождённой. Отношение соседних членов стремится к корню уравнения $x^3=x^2+1$, то есть к $1{,}4656\ldots$ — это «сверхзолотое сечение», индийский двойник золотого сечения Фибоначчи. Кролики Фибоначчи и коровы Нараяны — одна задача с разным сроком взросления.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.