10 класс

Алгебра и начала математического анализа

Действительные числа. Многочлены. Рациональные уравнения и неравенства. Системы

• Кантор: множества из рядов Фурье1872–1884Теоретико-множественный язык, с которого начинается курс, — и то, откуда он взялся: из задачи о единственности тригонометрического разложения.
• Дедекиндовы сечения: фундамент подведён1872Что такое действительное число: сечения, придуманные в тот день, когда автор не смог строго доказать студентам факты о пределах.
• Виет: буквы вместо чисел1591Теорема Виета для многочлена любой степени — там же, где впервые появились буквенные коэффициенты.
• Основная теорема алгебры1799Основная теорема алгебры: у всякого многочлена есть комплексный корень. Диссертация двадцатидвухлетнего Гаусса — и в ней тоже есть пробел, закрытый только в 1816 году.
• Сильвестр и Кэли: инварианты и слово «матрица»1850-еОпределители и слово «матрица»: как система линейных уравнений превратилась в таблицу.
• ✦Кэли: группа как таблица умножения1854 и 1858; кафедра в Кембридже — с 1863Исчисление матриц как самостоятельный объект — написанное между судебными делами практикующим адвокатом.

Функции и графики. Степенная функция. Бином Ньютона

• Дирихле: первое строгое условие и новое определение функции1829 и 1837Современное определение функции как произвольного соответствия — и сразу функция, к которой ни одна привычная теорема неприменима.
• Спор о колеблющейся струне: что такое функция?Берлин и Базель, 1747–1753Спор о колеблющейся струне: почему определение функции пришлось менять и кто с кем не мог договориться.
• Ньютон в чумные годы: метод флюксий1665–1666Бином Ньютона с нецелым показателем — из чумных лет в Вулсторпе.
• Кайфын: треугольник до Паскаляок. 1050 г.Биномиальные коэффициенты за шесть веков до Паскаля и Ньютона.

Арифметический корень n-й степени. Иррациональные уравнения

• Кротон: теорема Пифагораок. 520 г. до н. э.С чего началась иррациональность и почему это была катастрофа, а не открытие.
• ✦Лиувилль: первые трансцендентные числа1844Не всякое иррациональное число — корень: первое доказательство существования трансцендентных чисел.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Ручное извлечение корней высоких степеней — и требуемая инженером точность.

Показательная функция. Показательные уравнения

• Эйлер: анализ как наука о функциях1748–1770Число e и экспонента как самостоятельная функция — в трилогии, поставившей понятие функции в центр анализа.
• ✦«Ars Conjectandi»: закон больших чиселрукопись — к 1690-м; издана в 1713Откуда e берётся в задачах на сложные проценты: предел при непрерывном начислении.

Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения

• Непер: умножение становится сложением1614Главная точка темы: двадцать лет ручного счёта ради того, чтобы всякий следующий вычислитель тратил на умножение минуту вместо получаса. Лаплас сказал, что это удвоило жизнь астронома.
• Бриггс: логарифм получает основание1617 и 1624Почему основание десять: дробная часть логарифма перестаёт зависеть от порядка числа. Ради этого таблицу пересчитали заново.
• Бюрги: тот же ответ, никем не прочитанный1620 (найдено ок. 1588)Тот же результат, полученный придворным часовщиком на четверть века раньше — и пролежавший неопубликованным тридцать лет.
• Отред: сложение, записанное на дереве1622Логарифмическая линейка: сложение, вынесенное из головы в предмет. Инструмент, на котором посчитаны все самолёты до 1970-х.

Тригонометрические выражения и уравнения

• Академия Мамуна: Бируни и Ибн Синаок. 1000–1017Откуда взялись синус и косинус и зачем понадобилась теорема синусов.
• Ряды Мадхавы: анализ не там, где мы привыклиок. 1400 г.Ряды для синуса, косинуса и арктангенса — за три века до Тейлора, в Керале.
• Эйлер: анализ как наука о функциях1748–1770Формула, связывающая экспоненту с тригонометрией; после неё все тригонометрические тождества становятся следствиями одного.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Тригонометрические таблицы и теорема косинусов в самаркандском исполнении.

Последовательности и прогрессии. Метод математической индукции

• Парадоксы Зенона: Ахиллес и черепахаок. 450 г. до н. э.Сумма бесконечно убывающей прогрессии, поставленная как парадокс за двадцать четыре века до формулы.
• Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Первое строгое суммирование геометрической прогрессии — и «Метод», где раскрыта кухня поиска ответа.
• Пеано: пять аксиом, из которых следует вся арифметика1889Индукция как аксиома натурального ряда, а не приём решения задач.
• Орем: первый график и расходимость гармонического рядаок. 1350Расходимость гармонического ряда — контрпример к интуиции, доказываемый в три строки.
• ✦Ибн аль-Хайсам: суммы четвёртых степенейок. 1020Сумма четвёртых степеней, доказанная индукцией около 1020 года: результат, которого не было у Архимеда.

Непрерывные функции. Производная

• Ферма: экстремумы и касательныеок. 1629 г., в письмах с 1636-гоГлавная точка темы: дай аргументу приращение, приравняй, раздели, положи приращение нулём. Дифференцирование во всём, кроме названия, — и за сорок лет до Ньютона.
• Кеплер: винные бочки и второй порядок малости1615Почему вблизи максимума величина меняется медленно: наблюдение, из которого выросло условие равенства производной нулю.
• Ньютон в чумные годы: метод флюксий1665–1666Метод флюксий, сложенный за один чумной год и не опубликованный.
• Лейбниц: день рождения знака ∫29 октября 1675Обозначения, которыми пользуется учебник, — от Лейбница, а не от Ньютона; у знака интеграла даже есть точная дата рождения.
• Война о приоритете1699–1716Чем кончился спор о приоритете и почему британская математика отстала на век.
• «Аналист»: призраки почивших величин1734Возражение, на которое девяносто лет не было ответа: если приращение сначала не нуль, а потом нуль — где логика? Честный разговор о том, почему в учебнике вводят предел.
• Коши: предел как основа всего1821–1823Ответ Беркли: весь анализ, построенный на определении предела. Студенты Политехнической школы жаловались на абстрактность.
• Больцано: строгость в изоляции1817Теорема о промежуточном значении и строгое определение непрерывности — в Праге, почти без читателей, за годы до Коши.
• ✦Вейерштрасс: ε–δ и «монстр»лекции 1850–70-х; доклад 1872Определения через эпсилон и дельта — и функция, всюду непрерывная и нигде не дифференцируемая. Хороший ответ на вопрос «зачем такая строгость».
• Первый учебник анализа — и купленное правило1696Первый учебник анализа — и правило, купленное у Иоганна Бернулли по контракту за 300 ливров в год.
• ✦Нестандартный анализ: призраки реабилитированы1960–61; Лос-Анджелес, 1962–66Неожиданный финал: бесконечно малые всё-таки существуют законно — через 230 лет после насмешек Беркли.

Геометрия

Введение в стереометрию. Аксиомы. Построение сечений

• «Начала» — и подозрение о пятом постулатеок. 300 г. до н. э.Стереометрия — последние книги «Начал»; аксиоматический строй курса взят оттуда напрямую.
• Монж: начертательная геометрия под грифом1765–1795; Политехническая школа — Париж, 1794Главная точка темы: методы построения сечений — это начертательная геометрия, придуманная восемнадцатилетним чертёжником для расчёта укреплений и немедленно засекреченная.
• ✦Гильберт: «Основания геометрии»1899Как выглядит аксиоматика, доведённая до конца, и почему смысл слова «точка» в доказательстве использовать нельзя.

Взаимное расположение прямых. Параллельное проектирование

• Монж: начертательная геометрия под грифом1765–1795; Политехническая школа — Париж, 1794Параллельное проектирование как рабочий инструмент инженера, а не учебный приём.
• ✦Дезарг: геометрия без расстояний1639Центральное проектирование, доведённое до предела: геометрия, где параллельные пересекаются в бесконечно удалённой точке и исключений не остаётся.

Параллельность прямых и плоскостей

• «Начала» — и подозрение о пятом постулатеок. 300 г. до н. э.Признак параллельности прямой и плоскости стоит в одиннадцатой книге «Начал» почти в том же виде.
• ✦«Геометрия неделимых» Кавальери1635Что можно извлечь из параллельных сечений: принцип Кавальери и объёмы, вычисленные без интеграла.

Перпендикулярность прямых и плоскостей. Правильные многогранники

• Шлефли: правильные многогранники в четвёртом измерениирукопись 1850–1852; полное издание — 1901Правильных многогранников ровно пять — и что происходит в четвёртом измерении и выше. Готовый материал для доклада.
• ✦Кеплер: первая опись паркетов«Harmonices Mundi», книга II — 1619Кеплер перебирает правильные тела и паркеты как ботаник — виды; отсюда же его модель Солнечной системы из вложенных многогранников.
• ✦Фёдоров: двести тридцать способов быть кристалломпараллелоэдры — 1885, «Симметрия правильных систем фигур» — 1891Симметрии многогранников, доведённые до полного списка: двести тридцать пространственных групп.

Углы и расстояния. Трёхгранный угол. Элементы сферической геометрии

• Академия Мамуна: Бируни и Ибн Синаок. 1000–1017Главная точка темы: сферическая тригонометрия — теорема синусов для сферического треугольника получена именно здесь, для астрономии и определения направления на Мекку.
• Гаусс: внутренняя геометрия поверхностей8 октября 1827Геодезические линии и главный вывод для географии: точной плоской карты Земли не существует, и это теорема, а не техническая трудность.
• ✦Казань, 23 февраля 1826 года23 февраля 1826Третий вариант геометрии рядом со сферической и евклидовой — и русский сюжет к этому уроку.

Многогранники. Теорема Эйлера

• Эйлер: два результата, на которых стоит половина линииписьмо Гольдбаху — 14 ноября 1750; кривизна поверхностей — Берлин, 1760Главная точка темы: соотношение между числом вершин, рёбер и граней — первый в истории топологический инвариант, найденный за девяносто семь лет до появления слова «топология».
• Многогранник с дыркой1813Что будет, если в многограннике сквозная дырка: формула ломается, и из этой поломки рождается понятие рода поверхности.
• Шлефли: правильные многогранники в четвёртом измерениирукопись 1850–1852; полное издание — 1901Полная классификация правильных многогранников во всех размерностях.

Векторы в пространстве

• Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камнепонедельник 16 октября 1843Главная точка темы: чтобы умножать тройки, понадобилась четвёртая компонента и отказ от переместительного закона. Отсюда же — скалярное и векторное произведения.
• Грассман: учение о протяжённости1844Пространства любого числа измерений, линейная независимость и разложение по базису — в книге школьного учителя, которую не прочли.
• Пеано: аксиомы векторного пространства1888Аксиомы векторного пространства в современном виде — на тридцать четыре года раньше Банаха.

Вероятность и статистика

Элементы теории графов. Дерево случайного опыта

• Семь мостов Кёнигсберга1736Начало теории графов и приём, который здесь понадобится: считать степени вершин, не глядя на длины.
• Гальтон и Ватсон: вымирание фамилий1873–1875Дерево случайного опыта в чистом виде — и вопрос о вымирании фамилий, на котором его впервые построили.
• ✦PageRank: линейная алгебра съедает веб1996–1998Куда это ведёт: важность страницы как собственный вектор матрицы графа ссылок. Готовый ответ на вопрос «где это применяется».

Случайные опыты, события и вероятности

• Лето 1654 года: Паскаль, Ферма и задача о разделе ставкилето 1654Переписка, из которой родилось понятие вероятности.
• Галилей: почему десять чаще девятиок. 1613–1623Образцовый разбор равновозможных исходов — и почему их надо считать упорядоченными.
• ✦«Grundbegriffe»: вероятность = мера1933Чем всё кончилось: вероятность — это мера. Аксиоматика на тридцати страницах, на которой стоит вся современная теория.

Операции над событиями. Условная вероятность. Формула Байеса

• Теорема Байеса: от следствий к причинамдо 1761; опубликовано в 1763Главная точка темы: переход от следствий к причинам, найденный в бумагах покойного священника.
• Лаплас: собор классической вероятности1810–1812Лаплас переоткрывает Байеса, ничего о нём не зная, и собирает всю классическую теорию под одной крышей.
• ✦Тьюринг: вес свидетельства в Блетчли-парке1940–1943Байес в деле: накопление слабых улик при взломе «Энигмы» и логарифмическая единица свидетельства.
• ✦Даниил Бернулли: риск против риска1760, опубликовано в 1766Первая математическая модель эпидемии и первый расчёт «риск против риска» в медицине.

Элементы комбинаторики. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

• Кайфын: треугольник до Паскаляок. 1050 г.Треугольник в сунском Кайфыне — и независимо в Багдаде, Индии и Персии.
• Герсонид: комбинаторика с доказательствами1321Комбинаторные формулы, доказанные индукцией, за три века до Паскаля.
• Ньютон в чумные годы: метод флюксий1665–1666Бином с произвольным показателем.

Испытания Бернулли. Случайный выбор из совокупности

• «Ars Conjectandi»: закон больших чиселрукопись — к 1690-м; издана в 1713Схема испытаний и первая предельная теорема.
• Де Муавр: рождение колокола12 ноября 1733Приближение биномиального распределения колоколом — и первая в истории оценка «правила трёх сигм».
• ✦Улам и фон Нейман: вычислять вероятностью1946–1949Случайный выбор как вычислительный метод: разыграть партии вместо того, чтобы считать комбинаторно.

Случайные величины и распределения. Математическое ожидание и дисперсия

• Гюйгенс: первый печатный учебник и рождение ожидания1657Математическое ожидание как исходное понятие всей дисциплины.
• Даниил Бернулли: петербургский парадокс и полезность1738 (задача поставлена Николаем Бернулли в 1713)Петербургский парадокс: где ожидание перестаёт быть разумной мерой и появляется полезность.
• Галлей: таблица Бреслау и цена человеческой жизни1693 (данные — Бреслау, 1687–1691)Ожидание в деньгах: справедливая цена пожизненной ренты по таблице дожития.
• Петербургская школа: строгость трёх поколений1867–1913Строгие доказательства свойств ожидания и дисперсии — петербургская школа Чебышёва.
• ✦Марков: «Евгений Онегин» и цепи23 января 1913Что бывает, когда испытания зависимы: двадцать тысяч букв «Евгения Онегина», размеченных вручную, — и цепи Маркова.