9 класс

Алгебра

Функции. Квадратный трёхчлен. Квадратичная функция

• Конические сечения Аполлонияок. 200 г. до н. э.Главная точка темы: парабола как сечение конуса, а не как график. Слово «парабола» означало операцию с площадями — стоит показать, откуда оно.
• Декарт и Ферма: у точки появляются координаты1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636Почему уравнение второй степени и парабола — одно и то же.
• ✦Кеплер: винные бочки и второй порядок малости1615Вершина параболы и наибольшее значение: Кеплер замечает, что вблизи максимума величина меняется медленно, — это школьная задача на оптимум за двадцать лет до анализа.

Квадратные и рациональные неравенства. Метод интервалов

Прямого соответствия на карте нет: метод интервалов — школьная техника без отдельной исторической точки. Ближайшее — задача о знаках квадратного трёхчлена в общем виде, ставшая записываемой только после Виета.

• Виет: буквы вместо чисел1591

Уравнения третьей и четвёртой степени. Системы

• «Ars Magna»: драма кубических уравнений1545; напечатана в НюрнбергеГлавная точка темы: тридцатилетняя драма дель Ферро — Тартальи — Кардано и формулы третьей и четвёртой степени. Сюжет, который держит внимание класса целиком.
• Омар Хайям: кубические уравнения через конические сеченияок. 1070До формул: полная классификация кубических уравнений и решение каждого пересечением конических сечений.
• Бомбелли: как обращаться с невозможным1572Почему формула Кардано заставила принять корни из отрицательных чисел: дорога к вещественному ответу проходит через мнимые.
• ✦Абель: формулы не существует1824Для пятой степени формулы не существует — и это доказано, а не «пока не найдено». Двадцатидвухлетний норвежец печатает брошюру за свой счёт.
• ✦Ночь Галуаписьмо — в ночь на 30 мая 1832Почему именно пятая: разрешимость в радикалах определяется структурой группы симметрий уравнения. Письмо, написанное в ночь перед дуэлью.

Числовые последовательности и прогрессии

• Парадоксы Зенона: Ахиллес и черепахаок. 450 г. до н. э.Главная точка темы: Ахиллес и черепаха — это ровно сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, поставленная как вопрос за двадцать четыре века до формулы.
• Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Первое честное суммирование геометрической прогрессии — при вычислении площади параболического сегмента.
• Фибоначчи: девять индийских знаков1202 (2-я редакция 1228)Кролики из двенадцатой главы: рекуррентная формула, которая в самой книге была проходной задачей и прославилась через шестьсот пятьдесят лет.
• ✦Орем: первый график и расходимость гармонического рядаок. 1350Гармонический ряд расходится — доказательство группировкой слагаемых понятно девятикласснику и переворачивает интуицию.
• ✦Пеано: пять аксиом, из которых следует вся арифметика1889Метод математической индукции как аксиома: пятая аксиома Пеано — это в точности школьный принцип индукции.
• Аль-Караджи и ас-Самавал: алгебра без геометрииок. 1000 и ок. 1144Первое известное рассуждение по индукции — в доказательстве формулы бинома.
• ✦Герсонид: комбинаторика с доказательствами1321Систематическая индукция за три века до Паскаля — в трактате, написанном по-еврейски в Провансе.

Корень n-й степени. Степень с рациональным показателем углублённый

• Аль-Караджи и ас-Самавал: алгебра без геометрииок. 1000 и ок. 1144Арифметика степеней, включая отрицательные показатели, — та самая система правил, которую расширяет этот параграф.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Как извлекали корни высоких степеней вручную и с какой точностью.
• ✦Непер: умножение становится сложением1614Куда ведёт дробный показатель: логарифм превращает умножение в сложение, и на этом двадцать лет считалась таблица.

Геометрия

Тригонометрия. Теоремы синусов и косинусов. Решение треугольников

• Академия Мамуна: Бируни и Ибн Синаок. 1000–1017Главная точка темы: теорема синусов получена здесь, в хорезмийской академии, — и получена затем, чтобы избавиться от громоздкой теоремы Менелая в астрономических расчётах.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Теорема косинусов во Франции до сих пор называется теоремой аль-Каши. Заодно — до какой точности доводили тригонометрические таблицы в Самарканде.
• ✦Ряды Мадхавы: анализ не там, где мы привыклиок. 1400 г.Как считали синусы без таблиц: ряды для синуса и косинуса в Керале за три века до Тейлора.

Подобие. Метрические соотношения в окружности. Чева и Менелай

• Академия Мамуна: Бируни и Ибн Синаок. 1000–1017Теорема Менелая в своей естественной среде: она была рабочим инструментом сферической астрономии, а не олимпиадным приёмом.
• Эратосфен: решето и размер Землиок. 240 г. до н. э.Подобие как измерительный прибор — расчёт размеров Земли.
• ✦Дезарг: геометрия без расстояний1639Гомотетия и проективный взгляд: геометрия, в которой параллельные прямые пересекаются и нет исключений.

Метод координат на плоскости

• Декарт и Ферма: у точки появляются координаты1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636Главная точка темы. Стоит подчеркнуть: у Декарта нет ни осей в нашем смысле, ни отрицательных координат — привычный вид система приобрела позже.
• ✦Монж: начертательная геометрия под грифом1765–1795; Политехническая школа — Париж, 1794Координаты и проекции в инженерном деле: начертательная геометрия, тридцать лет числившаяся военной тайной.

Векторы

• Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камнепонедельник 16 октября 1843Главная точка темы: слова «вектор» и «скаляр» придуманы здесь. Ради умножения троек пришлось пожертвовать переместительным законом — и нацарапать формулу на камне моста.
• Грассман: учение о протяжённости1844Вся линейная алгебра — сложение, умножение на число, линейная независимость — в книге школьного учителя, которую никто не прочёл.
• ✦Пеано: аксиомы векторного пространства1888Первое современное аксиоматическое определение векторного пространства — и его тоже никто не заметил.

Правильные многоугольники. Длина окружности и площадь круга

• Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Метод вписанных и описанных многоугольников: число π зажато между 3 10/71 и 3 1/7 — ровно то рассуждение, что в учебнике, только доведённое до 96-угольника.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Тот же метод, доведённый до предела ручного счёта: шестнадцать верных знаков π.
• Папирус Ахмеса: геометрия рецептовок. 1650 г. до н. э.Египетское приближение площади круга — с чего всё начиналось.
• ✦Квадратура луночекок. 440 г. до н. э.Квадратура круга: надежда, прожившая 2322 года, и почему она была обречена.

Движения плоскости

• Эрлангенская программаоктябрь 1872Главная точка темы: геометрия — это теория инвариантов группы преобразований. Объясняет, почему движения вообще изучают отдельным параграфом.
• Фёдоров: двести тридцать способов быть кристалломпараллелоэдры — 1885, «Симметрия правильных систем фигур» — 1891Композиции движений с точным ответом: способов симметрично замостить плоскость ровно семнадцать.
• Альгамбра: орнамент как перебор возможностейвторая половина XIV в.Все семнадцать типов, перебранные вручную мастерами за пятьсот лет до доказательства.
• ✦Эшер и Коксетер: художник, которому не хватило плоскостиконгресс — сентябрь 1954, «Circle Limit I» — 1958Художник, которому не хватило плоскости: движения в геометрии Лобачевского как готовая картинка.

Вероятность и статистика

Элементы комбинаторики. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона

• Кайфын: треугольник до Паскаляок. 1050 г.Главная точка темы: треугольник построен в сунском Кайфыне за шесть веков до Паскаля — и независимо в Багдаде, Индии и Персии.
• Лето 1654 года: Паскаль, Ферма и задача о разделе ставкилето 1654Как треугольник оказался связан с вероятностями — через задачу о разделе ставки.
• Герсонид: комбинаторика с доказательствами1321Формулы для перестановок и сочетаний, доказанные индукцией, — в Провансе XIV века.
• ✦Ньютон в чумные годы: метод флюксий1665–1666Что будет, если в биноме показатель не целый: биномиальный ряд, придуманный в чумные годы на материнской ферме.

Геометрическая вероятность

• ✦Улам и фон Нейман: вычислять вероятностью1946–1949Геометрическая вероятность наоборот: не считать площадь, а бросать точки и считать попадания. Так вычисляют то, что не берётся формулой.

Классической точки об игле Бюффона на карте пока нет.

Испытания Бернулли

• «Ars Conjectandi»: закон больших чиселрукопись — к 1690-м; издана в 1713Главная точка темы: сама схема испытаний и первая предельная теорема — частота сходится к вероятности. Книга вышла через двадцать лет после смерти автора.
• Де Муавр: рождение колокола12 ноября 1733Что происходит, когда испытаний много: колокол появляется впервые именно здесь, в семистраничной заметке, напечатанной за свой счёт.

Случайная величина и распределение

• Гюйгенс: первый печатный учебник и рождение ожидания1657Математическое ожидание как «цена игры» — понятие, с которого началась вся дисциплина.
• ✦Даниил Бернулли: петербургский парадокс и полезность1738 (задача поставлена Николаем Бернулли в 1713)Петербургский парадокс: ожидание бесконечно, а платить никто не хочет. Задача, которую класс обсуждает сам, без подготовки.

Числовые характеристики: математическое ожидание и дисперсия

• Галлей: таблица Бреслау и цена человеческой жизни1693 (данные — Бреслау, 1687–1691)Главная точка темы для задач о страховании: первая таблица дожития и первая справедливая цена пожизненной ренты. Вероятность и деньги в одной формуле.
• Граунт: статистика из чумных списков1662Откуда взялись сами данные для таких расчётов — из чумных бюллетеней.
• Гюйгенс: первый печатный учебник и рождение ожидания1657Ожидание как исходное понятие, а вероятность — производное от него.

Закон больших чисел. Неравенство Чебышёва

• «Ars Conjectandi»: закон больших чиселрукопись — к 1690-м; издана в 1713Главная точка темы: первое доказательство того, что частоту можно принимать за меру вероятности.
• Петербургская школа: строгость трёх поколений1867–1913Русский сюжет и то самое неравенство: Чебышёв даёт закону больших чисел двухстрочное доказательство, Ляпунов доказывает предельную теорему, Марков снимает независимость.
• ✦Борель: мера входит в вероятность1909Усиленный закон больших чисел и неожиданное следствие: почти каждое число нормально — в его записи все цифры встречаются одинаково часто.