8 класс

Алгебра

Числовые неравенства и их свойства. Линейные неравенства

Отдельной точки о неравенствах на карте пока нет. Ближайшее по духу — доказательство от противного и работа с оценками у Архимеда: он зажимает число π между 3 10/71 и 3 1/7, то есть решает именно задачу об оценке величины неравенствами.

• Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.

Квадратный корень. Иррациональные и действительные числа

• Кротон: теорема Пифагораок. 520 г. до н. э.Главная точка темы: диагональ квадрата несоизмерима со стороной — первое доказанное существование иррационального числа, и катастрофа для той школы, которая его нашла.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Как извлекали корни и считали приближения до калькулятора — и с какой точностью.
• ✦Дедекиндовы сечения: фундамент подведён1872Вопрос, который в школе обходят: а что такое вещественное число? Дедекинд придумал ответ в тот день, когда не смог строго доказать студентам факты о пределах.
• ✦Лиувилль: первые трансцендентные числа1844Оказывается, иррациональные числа бывают двух сортов, и «плохих» гораздо больше. Первое предъявленное трансцендентное число.

Квадратные уравнения. Теорема Виета

• Вавилон: квадратные уравнения прозойXIX–XVII вв. до н. э.Главная точка темы: квадратные уравнения решали за три с половиной тысячи лет до нас — словами, без символов и без отрицательных корней.
• Аль-Хорезми: книга, давшая имя алгебреок. 820 г.Полная классификация случаев и геометрическое обоснование «дополнения до квадрата» — то же выделение полного квадрата, что и в учебнике.
• Брахмагупта: нуль и отрицательные числа628Первое общее решение квадратного уравнения, учитывающее отрицательные корни.
• Виет: буквы вместо чисел1591Теорема Виета появляется ровно тогда, когда появляются буквенные коэффициенты: раньше её нечем было записать.

Алгебраические дроби. Преобразование рациональных выражений

• Аль-Караджи и ас-Самавал: алгебра без геометрииок. 1000 и ок. 1144Деление многочленов столбиком и отрицательные степени — там же, где алгебра впервые обошлась без геометрических чертежей.
• Диофант: первые шаги к символамок. 250 г. (датировка спорна)Уравнения в рациональных числах: сотни задач, из которых выросла вся техника преобразований.

Дробно-рациональные уравнения. Системы уравнений

• Декарт и Ферма: у точки появляются координаты1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636Графическая интерпретация системы: точки пересечения двух кривых — это и есть решения. Момент, когда алгебра и геометрия стали одним предметом.
• ✦Омар Хайям: кубические уравнения через конические сеченияок. 1070Тот же приём на четыре века раньше: Хайям решает кубические уравнения пересечением конических сечений — честно признавшись, что алгебраической формулы найти не смог.

Функции. Графики y = x², y = x³, y = √x, y = k/x, y = |x|

• Конические сечения Аполлонияок. 200 г. до н. э.Откуда слова «парабола», «эллипс» и «гипербола»: это названия алгебраических операций с площадями, а не форм кривых.
• Декарт и Ферма: у точки появляются координаты1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636Почему у каждой формулы есть картинка, а у каждой кривой — формула.
• Орем: первый график и расходимость гармонического рядаок. 1350Первый график и первое чтение свойств зависимости прямо с чертежа.

Степень с целым показателем. Стандартный вид числа

• Аль-Караджи и ас-Самавал: алгебра без геометрииок. 1000 и ок. 1144Главная точка темы: отрицательные показатели степени введены и обоснованы в XII веке, задолго до того, как их приняли в Европе.
• Бриггс: логарифм получает основание1617 и 1624Стандартный вид числа и порядок величины: десятичный логарифм придуман ровно затем, чтобы порядок отделился от мантиссы.
• Ал-Каши: шестнадцать знаков числа π1424Порядки величин в деле: расчёт, где требуется различать шестнадцатый знак.

Делимость. Сравнения по модулю углублённый

• «Disquisitiones Arithmeticae»написана 1796–98, издана в 1801Главная точка темы: знак сравнения, свойства остатков и основная теорема арифметики — всё в одной книге, написанной в двадцать один год.
• Малая теорема Фермаписьмо от 18 октября 1640Малая теорема Ферма — первый по-настоящему нетривиальный факт об остатках, доступный этому классу.
• ✦Ибн аль-Хайсам: теорема Вильсона до Вильсонаок. 1000 г.Критерий простоты через факториал — найден в Каире около 1000 года и переоткрыт в Европе через семьсот семьдесят лет.
• ✦RSA: теория чисел уходит в каждый смартфон1977Ответ на вопрос «зачем нам остатки»: из малой теоремы Ферма вырос шифр, работающий в каждом смартфоне.

Геометрия

Четырёхугольники. Теорема Фалеса. Средняя линия. Центр масс

• Фалес: первое доказательствоок. 585 г. до н. э.Кому приписывают теорему о пропорциональных отрезках и что от Фалеса известно достоверно (почти ничего).
• ✦Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Метод масс в оригинале: Архимед находит площади и объёмы, мысленно взвешивая фигуры на рычаге. Точка пересечения медиан как центр тяжести — оттуда же.

Подобие треугольников

• Эратосфен: решето и размер Землиок. 240 г. до н. э.Главная точка темы: подобие в работе — окружность Земли измерена по разнице длины теней в двух городах, с ошибкой в считаные проценты. Полный расчёт разбирается на уроке.
• Фалес: первое доказательствоок. 585 г. до н. э.Легенда об измерении высоты пирамиды по тени — самая известная школьная иллюстрация подобия.
• ✦Монж: начертательная геометрия под грифом1765–1795; Политехническая школа — Париж, 1794Подобие и проекции как военная тайна: метод, за который восемнадцатилетнего чертёжника засекретили на тридцать лет.

Площадь. Формулы площадей многоугольников

• Папирус Ахмеса: геометрия рецептовок. 1650 г. до н. э.Площади по рецепту, без единого обоснования, — и почти все формулы верны. Повод обсудить разницу между «работает» и «доказано».
• Квадратура луночекок. 440 г. до н. э.Фигура с криволинейной границей, площадь которой в точности равна площади треугольника. Красивая задача на разрезание для сильного класса.
• ✦«Геометрия неделимых» Кавальери1635Принцип Кавальери: фигуры равной площади, если равны все их сечения. Нестрого, но именно так Европа считала площади полвека.

Теорема Пифагора и начала тригонометрии

• Кротон: теорема Пифагораок. 520 г. до н. э.Главная точка темы: что в теореме принадлежит грекам (доказательство), а что было известно за тысячу лет до них.
• Plimpton 322: тройки за тысячу лет до Пифагораок. 1800 г. до н. э.Пятнадцать строк пифагоровых троек на вавилонской табличке — среди них такие, что перебором их не найти. Готовый материал для урока о тройках.
• Академия Мамуна: Бируни и Ибн Синаок. 1000–1017Откуда взялись синус и косинус: не из школьного прямоугольного треугольника, а из астрономии и сферической геометрии.
• ✦Уайлс: закрытие поля1994–1995Продолжение теоремы Пифагора на показатели больше двух: 358 лет и доказательство, для которого пришлось создать новую математику.

Углы в окружности. Вписанные и описанные четырёхугольники

• Фалес: первое доказательствоок. 585 г. до н. э.Угол, опирающийся на диаметр, — прямой: частный случай теоремы о вписанном угле и первая доказанная теорема в истории.
• «Начала» — и подозрение о пятом постулатеок. 300 г. до н. э.Третья книга «Начал» — целиком об окружности; почти весь материал параграфа стоит там в том же порядке.

Вероятность и статистика

Множества. Диаграммы Эйлера. Формула включения-исключения

• Кантор: множества из рядов Фурье1872–1884Главная точка темы: теория множеств выросла не из желания обобщать, а из очень конкретной задачи о тригонометрических рядах.
• ✦Письмо Рассела: фундамент выбит16 июня 1902Три строчки, разрушившие двадцать лет работы: множество всех множеств, не содержащих себя. Парадокс формулируется на языке этого урока.
• ✦Цермело: аксиома выбора и первая аксиоматика множествтеорема о вполне упорядочении — 1904, аксиоматика — 1908Чем ответили на парадокс: теория множеств, выписанная списком аксиом.

Вероятность случайного события. Равновозможные исходы

• Лето 1654 года: Паскаль, Ферма и задача о разделе ставкилето 1654Задача о разделе ставки: справедливую долю определяют не набранные очки, а вероятности будущих исходов.
• Гюйгенс: первый печатный учебник и рождение ожидания1657Первый в мире печатный учебник вероятностей — и в его основе не вероятность, а математическое ожидание.
• Галилей: почему десять чаще девятиок. 1613–1623Классический разбор: почему исходы надо считать упорядоченными.

Рассеивание данных. Дисперсия. Диаграмма рассеивания

• Лондон: биометрическая революция1885–1901Главная точка темы: диаграмма рассеивания, корреляция и регрессия придуманы здесь — вместе с самим словом «регрессия».
• Лежандр и Гаусс: метод наименьших квадратов1805; Гёттинген, 1809Как провести прямую через точки, которые на прямой не лежат: метод наименьших квадратов и спор о приоритете между Лежандром и Гауссом.
• ✦Джон Сноу: карта, снятая ручка и «великий эксперимент»1854Связь есть — а причина ли? Сравнение двух водопроводных компаний как образец честного вывода из данных.

Теория графов: деревья

• Семь мостов Кёнигсберга1736Откуда вообще берутся графы; чётность степеней вершин — то же рассуждение, что и в задачах этого параграфа.
• ✦Гальтон и Ватсон: вымирание фамилий1873–1875Дерево случайного опыта в чистом виде: викторианцы считают, вымрет ли аристократическая фамилия. Автор решения ошибся в выводе — полезный сюжет.

Логика: союзы «и» и «или» углублённый

• Буль: законы мыслиЛинкольн, 1847; Корк, 1854Главная точка темы: «и» и «или» как умножение и сложение. Сын сапожника, не учившийся в университете ни дня, превратил логику в алгебру.
• Хрисипп: логика связокок. 280–206 гг. до н. э.Античное исчисление высказываний с пятью правилами вывода — забытое на два тысячелетия.

Операции над событиями. Сложение вероятностей

• Кантор: множества из рядов Фурье1872–1884Событие как множество исходов: объединение и пересечение на диаграмме Эйлера — это ровно операции над множествами с предыдущего параграфа.
• Лето 1654 года: Паскаль, Ферма и задача о разделе ставкилето 1654Первые правильные подсчёты составных событий.

Условная вероятность. Умножение вероятностей. Независимость

• Теорема Байеса: от следствий к причинамдо 1761; опубликовано в 1763Главная точка темы: как перейти от следствий к причинам. Рукопись нашли в бумагах покойного священника, а Лаплас переоткрыл всё заново.
• ✦Тьюринг: вес свидетельства в Блетчли-парке1940–1943Условная вероятность на войне: как накапливают слабые улики, взламывая шифр. Понятная и сильная мотивировка формулы Байеса.
• ✦Даниил Бернулли: риск против риска1760, опубликовано в 1766Прививка иногда убивает — стоит ли прививаться? Первый в истории расчёт «риск против риска», и спор двух математиков о том, как считать.