11 класс

Алгебра и начала математического анализа

Исследование функций с помощью производной. Задачи на оптимум

• Кеплер: винные бочки и второй порядок малости1615Задача на оптимум с бытовым сюжетом: какая бочка при данном обхвате вмещает больше всего.
• Ферма: экстремумы и касательныеок. 1629 г., в письмах с 1636-гоУсловие экстремума, найденное до всякого понятия производной.
• ✦Брахистохрона: вызов всей Европе1696Оптимум, где неизвестная — не число, а кривая: вызов, брошенный всей Европе, из которого выросло вариационное исчисление.
• ✦Канторович: оптимизация раскроя фанеры1939Оптимум в экономике: задача о раскрое фанеры, породившая линейное программирование и Нобелевскую премию.

Первообразная и интеграл

• Метод исчерпывания Евдоксаок. 370 г. до н. э.Метод исчерпывания: строгое вычисление площадей через приближения, аккуратно обходящее запрещённую после Зенона бесконечность.
• Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Площадь параболического сегмента — интегрирование за девятнадцать веков до интеграла, и признание в «Методе», как ответ был найден на самом деле.
• «Геометрия неделимых» Кавальери1635Площадь как сумма линий: нестрого, но именно так Европа считала полвека.
• Барроу: касательные и площади взаимно обратны1664–1665Главная точка темы: учитель Ньютона фактически формулирует основную теорему анализа — касательные и площади взаимно обратны.
• Лейбниц: день рождения знака ∫29 октября 1675День рождения знака интеграла — стилизованной буквы S от summa.
• Один день — две математики10 июня 1854Первое общее определение интеграла — то самое, что стоит в учебнике; написано в один день с лекцией об основаниях геометрии.
• ✦Торричелли: бесконечная поверхность, конечный объём1641Тело бесконечной длины и конечного объёма: результат, который современники сочли обманом. Хорошая задача на несобственный интеграл.
• ✦Интеграл Лебега1902Другой способ мерить: раскладывать монеты по достоинству, а не считать подряд. Интеграл, переживающий предельные переходы.

Графики тригонометрических функций. Тригонометрические неравенства

• Спор о колеблющейся струне: что такое функция?Берлин и Базель, 1747–1753Откуда в математике взялась периодичность как предмет изучения: задача о колеблющейся струне.
• ✦Мемуар Фурье: любая функция — сумма синусов?21 декабря 1807Любая функция — сумма синусов? Заявление, которое комиссия отвергла за нестрогость и которое породило полвека строгого анализа.
• Ряды Мадхавы: анализ не там, где мы привыклиок. 1400 г.Ряды для синуса и косинуса — за три века до Тейлора.

Иррациональные, показательные и логарифмические неравенства

• Непер: умножение становится сложением1614Свойства логарифма, на которых держится вся техника этих неравенств, — и зачем они были придуманы.
• ✦Коши: предел как основа всего1821–1823Понятие равносильности перехода и строгий разбор области определения — оттуда же, откуда предел.

Комплексные числа. Формула Муавра

• «Ars Magna»: драма кубических уравнений1545; напечатана в НюрнбергеГлавная точка темы: комплексные числа появились не из желания решить x² = −1, а как неизбежный промежуточный шаг в формуле для кубического уравнения с тремя вещественными корнями.
• Бомбелли: как обращаться с невозможным1572Правила арифметики для корня из минус единицы, выписанные инженером-осушителем болот.
• Основная теорема алгебры1799Основная теорема алгебры: зачем комплексные числа нужны — в них у всякого многочлена есть корень.
• Эйлер: анализ как наука о функциях1748–1770Формула, объединяющая экспоненту с тригонометрией; тригонометрическая форма и формула Муавра — её прямые следствия.
• ✦Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камнепонедельник 16 октября 1843Что дальше: если можно жертвовать привычными законами, получаются кватернионы. Законы арифметики оказалось можно выбирать.

Натуральные и целые числа. Делимость. Системы счисления

• Евклид: простых чисел бесконечно многоок. 300 г. до н. э.Алгоритм Евклида и бесконечность простых — в исходном изложении.
• «Disquisitiones Arithmeticae»написана 1796–98, издана в 1801Главная точка темы: сравнения по модулю, основная теорема арифметики и квадратичная взаимность в одной книге.
• Малая теорема Фермаписьмо от 18 октября 1640Малая теорема Ферма — рабочий инструмент задач на остатки.
• Ариабхата: алгоритм куттака499Уравнения в целых числах: алгоритм Евклида, пущенный в обратную сторону.
• ✦RSA: теория чисел уходит в каждый смартфон1977Ответ на вопрос о применении: шифр, у которого ключ шифрования можно публиковать.
• ✦«Сетунь»: троичная ЭВМ1959Позиционные системы счисления в железе: единственная в мире серийная троичная ЭВМ, где цифры −1, 0 и +1 и округление — это просто отбрасывание.
• ✦Десятая проблема Гильберта: ответ — «нет»1970Предел задач в целых числах: универсального алгоритма, решающего диофантовы уравнения, не существует. Доказал двадцатидвухлетний ленинградский аспирант.

Системы уравнений и неравенств всех изученных типов

• Декарт и Ферма: у точки появляются координаты1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636Графическая интерпретация системы как пересечения кривых.
• Омар Хайям: кубические уравнения через конические сеченияок. 1070Решение уравнения пересечением двух кривых — приём, придуманный поэтом за пять веков до Декарта.

Задачи с параметрами

• Виет: буквы вместо чисел1591Само слово «параметр» стало возможным здесь: буква для коэффициента, а не только для неизвестного. Задача с параметром — это то, что Виет и придумал записывать.
• ✦«Евклид, очищенный от всех изъянов»1733Разбор случаев, доведённый до конца, как жанр: человек честно перебрал все возможности и не поверил собственному результату.

Геометрия

Аналитическая геометрия. Уравнение плоскости. Линейное программирование

• Декарт и Ферма: у точки появляются координаты1637; рукопись Ферма — Тулуза, 1636Основание всего метода.
• Брум-Бридж: кватернионы, нацарапанные на камнепонедельник 16 октября 1843Векторное произведение и нормаль к плоскости пришли из кватернионов — вместе со словами «вектор» и «скаляр».
• Канторович: оптимизация раскроя фанеры1939Главная точка по линейному программированию: задача о загрузке станков, из которой выросли двойственные оценки и вся оптимизация.
• Данциг: симплекс-методлето 1947Симплекс-метод: почему обход вершин многогранника ограничений находит оптимум за десятки шагов, хотя вершин больше, чем атомов во Вселенной.
• ✦Хачиян: метод эллипсоидов1979Четыре страницы, закрывшие тридцатилетний вопрос: линейное программирование решается за полиномиальное время.

Объём многогранника. Классические задачи древности

• Папирус Ахмеса: геометрия рецептовок. 1650 г. до н. э.Точная формула объёма усечённой пирамиды — за полторы тысячи лет до греков и без обоснования.
• Метод исчерпывания Евдоксаок. 370 г. до н. э.Строгое доказательство объёма пирамиды методом исчерпывания — то место, где школьный вывод обычно обрывается на «можно показать».
• «Геометрия неделимых» Кавальери1635Принцип, которым объёмы наклонной и прямой призмы сравниваются в одну строку.
• Квадратура луночекок. 440 г. до н. э.Квадратура круга и удвоение куба: чем закончились три классические задачи и почему ответ отрицательный.
• ✦Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Отношение объёмов шара и описанного цилиндра — результат, который Архимед просил высечь на своей могиле.

Тела вращения. Цилиндр, конус, сфера

• Кеплер: винные бочки и второй порядок малости1615Главная точка темы: девяносто два тела вращения, вычисленные бесконечно малыми ради спора о цене бочки вина.
• Конические сечения Аполлонияок. 200 г. до н. э.Сечения конуса: откуда взялись эллипс, парабола и гипербола и почему они называются именно так.
• ✦Торричелли: бесконечная поверхность, конечный объём1641Тело вращения с бесконечной поверхностью и конечным объёмом.
• ✦Гаусс: внутренняя геометрия поверхностей8 октября 1827Почему развёртка сферы невозможна, а развёртка цилиндра и конуса — да: кривизна не меняется при изгибании.

Площади поверхности и объёмы круглых тел. Подобные тела

• Архимед: квадратура параболы и «Метод»ок. 250–220 гг. до н. э.Площадь сферы и объём шара — классические результаты, полученные взвешиванием и доказанные исчерпыванием.
• «Геометрия неделимых» Кавальери1635Объём шара через сравнение сечений — вывод, помещающийся на страницу.
• Метод исчерпывания Евдоксаок. 370 г. до н. э.Отношение объёмов подобных тел как куб коэффициента — впервые строго обосновано здесь.

Движения и преобразования подобия в пространстве

• Эрлангенская программаоктябрь 1872Главная точка темы: геометрия — это теория инвариантов группы преобразований; движения и подобия задают две разные геометрии.
• Фёдоров: двести тридцать способов быть кристалломпараллелоэдры — 1885, «Симметрия правильных систем фигур» — 1891Полный список пространственных групп симметрии — двести тридцать, и восемнадцатого типа кристалла не найдут никогда.
• ✦Шлефли: правильные многогранники в четвёртом измерениирукопись 1850–1852; полное издание — 1901Симметрии правильных многогранников во всех размерностях.

Вероятность и статистика

Закон больших чисел. Неравенство и теорема Чебышёва

• «Ars Conjectandi»: закон больших чиселрукопись — к 1690-м; издана в 1713Первая предельная теорема: частота сходится к вероятности, значит, шансы можно измерять наблюдениями.
• Петербургская школа: строгость трёх поколений1867–1913Главная точка темы: неравенство Чебышёва, двухстрочное доказательство закона больших чисел, строгая центральная предельная теорема Ляпунова и снятие независимости у Маркова — одна кафедра, три поколения.
• ✦Борель: мера входит в вероятность1909Усиленный закон больших чисел и нормальные числа.
• ✦«Grundbegriffe»: вероятность = мера1933Аксиоматика, на которой все эти теоремы получили окончательную форму.

Элементы математической статистики. Выборка и гипотезы

• «Стьюдент» с пивоварни Guinness1908Главная точка темы: задача малых выборок, решённая пивоваром Guinness и напечатанная под псевдонимом, потому что фирма запрещала публикации.
• Лондон: биометрическая революция1885–1901Хи-квадрат и рождение прикладной статистики как отрасли.
• Джон Сноу: карта, снятая ручка и «великий эксперимент»1854Образцовое статистическое исследование: сравнение двух водопроводных компаний, снабжавших вперемешку одни и те же дома, — естественный эксперимент задолго до термина.
• ✦Вальд: последовательный анализ и пробоины1943Ошибка выжившего на разборе пробоин бомбардировщиков — самый быстрый способ объяснить классу, что такое смещение выборки.
• Флоренс Найтингейл: статистика как политическое действие1858Что делает статистику политическим действием: цифры, изменившие устройство армейских госпиталей.

Непрерывные случайные величины. Показательное и нормальное распределения

• Де Муавр: рождение колокола12 ноября 1733Главная точка темы: нормальная кривая появляется впервые — в семистраничной заметке, напечатанной автором за свой счёт.
• Лаплас: собор классической вероятности1810–1812Центральная предельная теорема объясняет, почему колокол встречается повсюду.
• Лежандр и Гаусс: метод наименьших квадратов1805; Гёттинген, 1809Гаусс выводит нормальный закон из требования, чтобы наилучшей оценкой было среднее арифметическое.
• ✦Мандельброт: хвосты толще, чем кажется1963Обязательная контрточка: на финансовых рынках нормальный закон не работает, крупные скачки случаются несопоставимо чаще.

Распределение Пуассона

Отдельной точки о Пуассоне на карте пока нет. Ближайшее по смыслу — предельный переход от схемы Бернулли при большом числе испытаний и малой вероятности.

• Де Муавр: рождение колокола12 ноября 1733
• «Ars Conjectandi»: закон больших чиселрукопись — к 1690-м; издана в 1713

Связь между случайными величинами. Корреляция и регрессия

• Лондон: биометрическая революция1885–1901Главная точка темы: и корреляция, и само слово «регрессия» придуманы здесь — Гальтон заметил возврат роста детей к среднему.
• Лежандр и Гаусс: метод наименьших квадратов1805; Гёттинген, 1809Метод наименьших квадратов: Лежандр печатает первым, Гаусс добавляет обоснование и приписку «пользуюсь с 1795 года».
• Джон Сноу: карта, снятая ручка и «великий эксперимент»1854Ровно к пункту программы о различии линейной и причинно-следственной связи: как отличают одно от другого на практике.
• ✦Мандельброт: хвосты толще, чем кажется1963Когда корреляция обманывает: тяжёлые хвосты и редкие события, которых «не должно быть».