Карта → задачник
Задачник
Здесь собраны задачи, которые в самом деле решали: из папируса Ринда, из «Девяти глав», у Диофанта, в «Лилавати», у Магницкого. Каждая дана дважды — так, как она звучала тогда, и так, как её записали бы сегодня. Разница между двумя записями и есть предмет этого раздела: она показывает, чего у людей не было и что им приходилось делать вместо этого.
171 задача · 58 источников · 1850 до н. э. — 1913 · у 144 сохранилась подлинная формулировка · 64 точки карты
Отобрано: Ислам 20
-
Квадрат и десять корней
Аль-Хорезми, «Книга о восполнении и противопоставлении» · глава о квадратах и корнях
Решить уравнение $x^2+10x=39$.
-
Разделить десять на две части
Аль-Хорезми, «Книга о восполнении и противопоставлении» · глава задач
Разделить 10 на две части так, чтобы сумма их отношений (первой ко второй и второй к первой) равнялась $2\frac16$.
-
Единственный случай с двумя корнями
Аль-Хорезми, «Книга о восполнении и противопоставлении» · глава о квадратах и числах, равных корням
Решить уравнение $x^2+21=10x$. Сколько у него корней?
-
Раздел наследства
Аль-Хорезми, «Книга о восполнении и противопоставлении» · книга о завещаниях
Женщина оставила наследство: мужу причитается четверть, остальное делится между сыном и тремя дочерьми так, что сын получает вдвое больше каждой…
-
Дружественные числа
Сабит ибн Курра: трактаты · «Об определении дружественных чисел»
Найти сумму всех собственных делителей числа 220 и сумму всех собственных делителей числа 284. Затем проверить правило Сабита при $n=2$: числа…
-
Три квадрата в один
Геометрия и вычисления исламского мира · Абу-л-Вафа, «Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений»
Даны три одинаковых квадрата. Разрезать их на части и сложить из этих частей один квадрат. Какова сторона получившегося квадрата?
-
Циркуль с заклинившей ножкой
Геометрия и вычисления исламского мира · Абу-л-Вафа, «Книга о том, что необходимо ремесленнику»
Разделить данный отрезок пополам линейкой и циркулем, раствор которого нельзя менять. Почему такое ограничение вообще имеет смысл?
-
Остаток единица
Геометрия и вычисления исламского мира · Ибн аль-Хайсам, «Опускула»
Найти наименьшее число, которое при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 даёт в остатке 1, а на 7 делится нацело.
-
Сумма кубов
Геометрия и вычисления исламского мира · аль-Караджи, «аль-Фахри»
Доказать, что $1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2$, и вычислить сумму кубов первых десяти чисел.
-
Сумма четвёртых степеней
Геометрия и вычисления исламского мира · Ибн аль-Хайсам, «Об измерении параболического тела»
Найти $1^4+2^4+3^4+4^4+5^4$ и проверить на этом примере формулу $\dfrac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$.
-
Задача о круглом зеркале
Геометрия и вычисления исламского мира · Ибн аль-Хайсам, «Книга оптики», кн. V
Дана окружность и две точки внутри неё. Найти на окружности точку, в которой луч, вышедший из первой точки, отразится во вторую (угол падения равен…
-
Радиус Земли с вершины горы
Бируни: измерение мира · «Канон Масуда», кн. V
С вершины горы высотой $h$ видимый край моря опускается ниже горизонтали на угол $\theta$. Показать, что радиус Земли равен…
-
Куб через параболу и окружность
Омар Хайям: алгебра и календарь · о кубических уравнениях
Парабола $x^2=2y$ и окружность $x^2+y^2=4x$ пересекаются, кроме начала координат, ещё в одной точке. Найти её и убедиться, что её абсцисса — корень…
-
Чей календарь точнее
Омар Хайям: алгебра и календарь · календарь Джалали, 1079
В календаре Джалали, составленном под началом Хайяма, из каждых 33 лет високосными считаются 8. В григорианском из каждых 400 лет високосных 97…
-
Деление, которое не кончается
Геометрия и вычисления исламского мира · ас-Самавал, «Блистательное в алгебре», ок. 1150
Разделить 1 на $1-x$ «столбиком», располагая по возрастающим степеням $x$. Что получится и когда этому можно верить?
-
Пара Туси
Ат-Туси: тригонометрия и механика · «Изложение Альмагеста», ок. 1247
Окружность радиуса $R/2$ катится без скольжения внутри окружности радиуса $R$. Какую линию описывает точка малой окружности?
-
Теорема синусов
Ат-Туси: тригонометрия и механика · «Трактат о полном четырёхстороннике», кн. III
В треугольнике $\angle A=45^\circ$, $\angle B=60^\circ$, сторона $a=10$. Найти сторону $b$ и третий угол.
-
Шестнадцать знаков
Геометрия и вычисления исламского мира · ал-Каши, «Трактат об окружности»
Ал-Каши последовательно удваивал число сторон правильного многоугольника, начав с шестиугольника, и дошёл до $3\cdot2^{28}$ сторон. Сколько это…
-
Теорема косинусов
Геометрия и вычисления исламского мира · ал-Каши, «Ключ арифметики», 1427
Найти третью сторону треугольника, у которого две стороны равны 7 и 8, а угол между ними $60^\circ$. Что получится из той же формулы, если угол…
-
Синус одного градуса
Геометрия и вычисления исламского мира · ал-Каши, «Трактат о хорде и синусе»
Синус $3^\circ$ можно построить точно: он выражается через синусы $18^\circ$ и $15^\circ$. Пользуясь формулой $\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$…