Ислам · «Об определении дружественных чисел»
Дружественные числа
Как звучало тогда
Если числа $3\cdot2^{n-1}-1$, $3\cdot2^{n}-1$ и $9\cdot2^{2n-1}-1$ простые, то числа $2^n\,pq$ и $2^n r$ дружественны.
Условие
Найти сумму всех собственных делителей числа 220 и сумму всех собственных делителей числа 284. Затем проверить правило Сабита при $n=2$: числа $p=3\cdot2-1$, $q=3\cdot4-1$, $r=9\cdot8-1$ — простые ли они и что даёт правило?
Показать ответ
делители 220 дают в сумме 284, делители 284 — 220; при $n=2$ выходит $p=5$, $q=11$, $r=71$, все простые, и $4\cdot5\cdot11=220$, $4\cdot71=284$
О чём эта задача
Пара 220 и 284 была известна ещё пифагорейцам и считалась символом дружбы: их вырезали на амулетах. Заслуга Сабита в том, что он дал правило, а не пару. Правило, впрочем, капризно: при $n=3$ два числа простые, а третье равно $287=7\cdot41$ — и пары нет. Следующий случай, $n=4$, даёт 17 296 и 18 416; эту пару через триста лет заново нашёл Ферма, а ещё через сто — Декарт, и оба не знали, что она уже была найдена в Багдаде.
Разбор — «как решали тогда» и «как решают сейчас» — для этой задачи ещё не написан.