Папп Александрийский

Обычно математика ценят за то, что он открыл. Паппа ценят за то, что он записал, — и это оказалось важнее.

Датировка по затмению

О жизни известно почти ничего. Работал в Александрии; в одном из его текстов упомянуто солнечное затмение, по которому его деятельность датируют примерно 320 годом. Сохранилось косвенное свидетельство, что у него была дочь, для которой он писал комментарий к Птолемею.

Он последний в ряду александрийских геометров. После него ещё два поколения: Теон Александрийский готовит редакцию «Начал», по которой Европа будет читать Евклида до XIX века, его дочь Гипатия комментирует Аполлония и Диофанта, — а дальше идут комментарии к комментариям.

Жанр

«Математическое собрание» (Συναγωγή) — сочинение странного жанра: не трактат и не учебник, а обзор с комментариями и собственными добавлениями. Восемь книг, из которых первая утрачена целиком и начало второй тоже.

Жанр появляется в определённый момент — когда великие книги перестают переписывать. Папп пишет для читателя, у которого уже нет под рукой ни Аполлония целиком, ни «Поризмов» Евклида: он пересказывает содержание, приводит формулировки, объясняет ход мысли. По сути — опись имущества перед тем, как оно пропадёт.

Опись оказалась не напрасной. Только из Паппа известно, что стояло в утраченных книгах Аполлония «О плоских местах» и «О касаниях»; только из него — про «Поризмы» Евклида, от которых не осталось ничего другого; только у него описана «Сокровищница анализа» — корпус книг о методе решения задач.

Задача о четырёх прямых

В седьмой книге стоит вопрос, изменивший всё. Даны четыре прямые; найти геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до первых двух относится к произведению расстояний до двух других в заданном отношении. Папп сообщает: для трёх и четырёх прямых выходит коническое сечение, а для большего числа — «линия, природа которой неизвестна».

Через тринадцать веков Декарт возьмётся за неё как за прямой вызов из античности и решит для любого числа прямых. Именно на этой задаче построена «Геометрия» 1637 года: координаты понадобились ровно затем, чтобы её одолеть. Одна строчка в обзоре IV века запустила аналитическую геометрию.

Теорема Паппа

Пусть точки $A$, $B$, $C$ лежат на одной прямой, а $D$, $E$, $F$ — на другой. Тогда точки пересечения $AE$ с $BD$, $AF$ с $CD$, $BF$ с $CE$ лежат на одной прямой.

Ни расстояний, ни углов в формулировке нет: только «лежать на прямой» и «пересекаться». Утверждение целиком проективное — за тринадцать веков до проективной геометрии, к которой придёт Дезарг.

Дальнейшая его судьба поразительна. Теорема Паппа влечёт теорему Дезарга; а в проективной плоскости, построенной над телом, она равносильна коммутативности умножения в этом теле. Геометрическая теорема о шести точках оказалась переодетым алгебраическим законом — это установил Гессенберг, а окончательный вид придал Гильберт в «Основаниях геометрии».

Правило о теле вращения

В той же седьмой книге стоит правило, известное школе под именем Паппа — Гульдина: объём тела вращения равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной её центром тяжести, $V=2\pi d\,S$. Формула, которую иначе пришлось бы добывать интегралом, получается умножением двух школьных величин.

Здесь нужна оговорка: часть исследователей считает это место позднейшей вставкой — формулировка стоит особняком и доказательства при ней нет. Паулю Гульдину, переоткрывшему правило около 1640 года, современники предъявили обвинение в плагиате, а он ответил, что у Паппа этого не было. Спор не решён, и двойное имя формулы — след спора.

Пчёлы

Пятая книга начинается с рассуждения, которое стоит прочитать любому учителю. Папп замечает, что пчёлы строят соты шестиугольными, и спрашивает почему. Плоскость без зазоров замощается правильными многоугольниками только тремя способами, а из трёх при равной площади ячейки наименьший периметр даёт шестиугольник — значит, на такие соты уходит меньше всего воска.

Доказал он частный случай, сравнение трёх правильных паркетов. Полное утверждение — что шестиугольная решётка лучше любого разбиения плоскости — называется гипотезой о сотах и доказано Томасом Хейлзом в 1999 году. Между вопросом и ответом тысяча шестьсот восемьдесят лет.

Возвращение

«Математическое собрание» пролежало без внимания больше тысячи лет. Латинский перевод Федерико Коммандино вышел в 1588 году — и его прочитали все сразу: Виет, Декарт, Ферма, Дезарг, Паскаль, Ньютон. Шотландцы XVIII века полвека занимались восстановлением того, что Папп пересказал.

Обзор, написанный из чувства, что всё кончается, оказался мостом.