Отто Гёльдер

Редкий случай, когда человек оставил след сразу в анализе, алгебре и основаниях математики — и во всех трёх местах его помнят, не догадываясь, что это один и тот же человек.

Ученик берлинцев

Родился в 1859 году в Штутгарте, в семье профессора французского языка; дед и прадед тоже были профессорами. Учился в Штутгартском политехникуме, потом в Берлине — у Вейерштрасса, Кронекера и Куммера, то есть у всей берлинской школы разом.

Диссертацию защитил в Тюбингене в 1882 году — о сходимости рядов Фурье. Затем Гёттинген, где в 1884-м произошла неприятность: его хабилитационную работу приняли, но публичной лекции он не выдержал — начались нервные приступы, преследовавшие его потом всю жизнь.

С 1889 года — экстраординарный профессор в Тюбингене, с 1899-го и до отставки в 1929-м — ординарный профессор в Лейпциге. Тридцать лет на одной кафедре.

Неравенство

$$\sum |a_kb_k|\leqslant\left(\sum|a_k|^p\right)^{1/p}\left(\sum|b_k|^q\right)^{1/q},\qquad \frac1p+\frac1q=1.$$

Напечатано в 1889 году, в работе о средних значениях. При $p=q=2$ получается неравенство Коши — Буняковского — Шварца; в этом смысле неравенство Гёльдера — его прямое обобщение, и обобщение содержательное: показатели $p$ и $q$, связанные соотношением $\tfrac1p+\tfrac1q=1$, называются сопряжёнными, и вся двойственность в теории пространств $L^p$ держится на них.

Честная оговорка: годом раньше, в 1888-м, то же неравенство напечатал Леонард Роджерс, и Гёльдер на него ссылался. Строго говоря, это неравенство Роджерса — Гёльдера.

Вместе с неравенством Минковского оно составляет фундамент, на котором через двадцать лет Рисс и Фишер построят пространства $L^p$. В школе из всего этого остаётся частный случай — неравенство между средними, — а в университете неравенство Гёльдера оказывается едва ли не самым употребимым инструментом анализа.

Ему же принадлежит понятие гёльдеровой непрерывности: $|f(x)-f(y)|\leqslant C|x-y|^{\alpha}$. При $\alpha=1$ это условие Липшица, при меньших $\alpha$ — слабее; вся современная теория уравнений в частных производных говорит на этом языке.

Теорема Жордана — Гёльдера

В том же 1889 году — работа совсем из другой области.

Камиль Жордан в 1870 году доказал, что в композиционном ряду конечной группы порядки факторов определены однозначно. Гёльдер усилил результат до окончательного вида: однозначно определены сами факторы, с точностью до изоморфизма и порядка следования.

Это и есть теорема Жордана — Гёльдера, из которой следует, что простые группы суть «атомы», из которых собрана любая конечная группа. Именно поэтому классификация простых конечных групп была задачей такой важности: зная атомы, знаешь материал.

Гёльдер же первым описал все группы порядка $p^3$ и порядка $pqr$ и ввёл понятие фактор-группы в нынешнем виде.

Что ещё

В 1887 году он доказал, что гамма-функция не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению, — результат, объясняющий, почему её нельзя получить из элементарных функций никакими естественными средствами.

Ему же принадлежит окончательный ответ в старом споре о неприводимом случае кубического уравнения: в 1891 году он доказал, что когда все три корня вещественны, выразить их через вещественные радикалы невозможно. Комплексные числа, которые Кардано считал уловкой, оказались обязательными.

Последние десятилетия он занимался основаниями математики и философией: писал о природе математического доказательства, спорил с формалистами и с логицистами, отстаивая взгляд, при котором математическое рассуждение есть особая деятельность, не сводимая к выводу по правилам. Работы эти читают до сих пор — реже, чем неравенство, но читают.

Сын его, Эрнст Гёльдер, тоже стал математиком и работал в Лейпциге и Майнце.

Умер в Лейпциге в августе 1937 года, семидесяти восьми лет.