Герман Минковский

Он умел делать одно и то же в разных областях: превращать вопрос о числах в вопрос о фигурах.

Кёнигсбергский школьник

Родился в 1864 году в Алексотасе под Ковно, в еврейской купеческой семье. В 1872 году семья, спасаясь от преследований, переехала в Кёнигсберг — уже в Германию.

Там он подружился с Давидом Гильбертом, который был на два года старше; дружба продлилась до конца жизни и во многом определила обоих. Третьим в кружке был Адольф Гурвиц.

В восемнадцать лет Минковский разделил Гран-при Парижской академии наук за работу о представлении чисел суммами пяти квадратов. Разделил — потому что премию присудили также английскому математику Генри Смиту, умершему к тому моменту; часть французских академиков возмущалась, что приз уходит немецкому студенту, и дело даже обсуждалось в прессе.

Геометрия чисел

Главное его создание — «Geometrie der Zahlen» (1896), и замысел там простой до дерзости: вопрос о целых решениях уравнения есть вопрос об узлах решётки внутри некоторого тела.

Центральный результат — теорема Минковского о выпуклом теле:

Всякое центрально-симметричное выпуклое тело объёма больше $2^{n}$ содержит ненулевую точку целочисленной решётки.

Доказательство занимает полстраницы и состоит в том, что при сжатии тела вдвое его копии, сдвинутые на векторы решётки, обязаны налезть друг на друга.

Из этой теоремы за несколько строк выводятся классические факты теории чисел, которые прежде добывались тяжёлым арифметическим трудом: теорема Ферма о представлении простого числа вида $4k+1$ суммой двух квадратов, теорема Лагранжа о четырёх квадратах, оценки в теории приближения иррациональных чисел рациональными.

Оттуда же — неравенство Минковского

$$\left(\sum|a_k+b_k|^p\right)^{1/p}\leqslant\left(\sum|a_k|^p\right)^{1/p}+\left(\sum|b_k|^p\right)^{1/p},$$

то есть неравенство треугольника для нормы $L^p$. Вместе с неравенством Гёльдера оно составляет фундамент, на котором через двадцать лет Рисс и Фишер построят пространства $L^p$. Минковский вводил эти неравенства ради выпуклых тел, а получилось основание функционального анализа.

Цюрих и Гёттинген

С 1896 по 1902 год Минковский преподавал в Цюрихском политехникуме. Среди его студентов был Альберт Эйнштейн — не самый прилежный; Минковскому приписывают отзыв о нём как о «ленивом псе», хотя достоверность фразы сомнительна.

В 1902 году Гильберт добился, чтобы для друга создали в Гёттингене отдельную кафедру. Годы эти были для Гёттингена лучшими: Гильберт, Минковский, Клейн, Рунге в одном городе.

Пространство-время

21 сентября 1908 года на съезде естествоиспытателей в Кёльне Минковский прочёл доклад «Raum und Zeit», начинавшийся фразой, которую с тех пор цитируют все:

«Отныне пространство само по себе и время само по себе должны обратиться в фикции, и лишь некоторый вид соединения обоих сохранит самостоятельность».

Содержание доклада — специальная теория относительности, переписанная как геометрия четырёхмерного мира с интервалом $s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$. Один знак минус — и преобразования Лоренца оказываются поворотами, парадокс близнецов — неравенством треугольника наоборот, а пространство скоростей — моделью геометрии Лобачевского.

Эйнштейн отнёсся к работе бывшего преподавателя прохладно, назвав её «излишней учёностью». Через три года, строя общую теорию, он обнаружил, что без четырёхмерного формализма Минковского не сдвинуться с места.

Смерть

Минковский умер 12 января 1909 года от разрыва аппендикса, сорока четырёх лет, через четыре месяца после кёльнского доклада. Гильберт, писавший некролог, говорил, что потерял единственного человека, с которым мог обсуждать всё.

Его сочинения издал Гильберт; лекции по геометрии чисел вышли посмертно. Пространство, носящее его имя, — сегодня первое, что узнаёт о теории относительности любой студент.