Герман Амандус Шварц

Однофамильцев у него много, и путают их постоянно: неравенство и лемма — его, теория обобщённых функций — Лорана Шварца, инстантоны — Альберта Шварца. Здесь речь о берлинском аналитике второй половины XIX века.

Химик, ставший математиком

Родился в 1843 году в Хермсдорфе в Силезии (ныне Ежув-Судецкий в Польше). В берлинскую Промышленную академию поступил учиться на химика; переубедили его Куммер и Вейерштрасс, чьи лекции он слушал попутно.

Связь с обоими оказалась не только научной: в 1868 году Шварц женился на Мари Куммер, дочери своего учителя. Диссертацию он защитил в 1864 году у Куммера и Вейерштрасса.

Дальше — Галле, потом Цюрихский политехникум, потом Гёттинген, а в 1892 году он занял в Берлине кафедру самого Вейерштрасса и держал её до отставки в 1917-м. Учеников у него было множество — среди них Эрнст Цермело, Липот Фейер, Пауль Кёбе и Леон Лихтенштейн.

Неравенство

Неравенство
$$\left(\int fg\right)^2\leqslant\int f^2\cdot\int g^2$$
Шварц опубликовал в 1888 году — не как самостоятельный результат, а как лемму в работе о минимальных поверхностях.

Дискретный вариант $\left(\sum a_kb_k\right)^2\leqslant\sum a_k^2\cdot\sum b_k^2$ доказал Коши в 1821 году, интегральный — Виктор Буняковский в 1859-м, за двадцать девять лет до Шварца. В русской традиции поэтому пишут «Коши — Буняковского», в западной — «Коши — Шварца», и обе стороны по-своему правы; полное имя из трёх фамилий — самое честное.

Существо неравенства простое и потому важное: это утверждение о том, что косинус угла между двумя векторами не превосходит единицы. В таком виде оно верно в любом пространстве со скалярным произведением, и без него не строится ни одна теорема гильбертова пространства.

Лемма Шварца и отображения

В комплексном анализе за ним числятся сразу несколько вещей, которыми пользуются ежедневно.

Лемма Шварца. Если функция голоморфна в единичном круге, оставляет центр на месте и не выводит круг за его пределы, то $|f(z)|\leqslant|z|$, а равенство хоть в одной внутренней точке означает, что $f$ — поворот. Утверждение, из которого выводится вся геометрия конформных отображений круга.

Принцип симметрии (принцип отражения): голоморфную функцию, вещественную на отрезке вещественной оси, можно продолжить через этот отрезок зеркально. Приём, который в физике встречается даже там, где о комплексном анализе не думают.

Отображение Шварца — Кристоффеля — формула, переводящая полуплоскость в произвольный многоугольник; рабочий инструмент гидродинамики и электростатики целый век.

Он же дал первое строгое доказательство теоремы Римана об отображении для широкого класса областей — Риман считал её очевидной, опираясь на принцип Дирихле, а Вейерштрасс показал, что принцип требует обоснования.

Фонарь Шварца

Самое поучительное, что он придумал, — контрпример, который стоит показывать в школе.

Длину кривой определяют как предел длин вписанных ломаных, и это работает. Естественно определить площадь поверхности как предел площадей вписанных многогранников — и вот это не работает.

Шварц вписал в обычный цилиндр многогранник из треугольников («гармошкой», кольцами) и показал: измельчая разбиение по-разному, можно получить в пределе любую площадь, сколь угодно большую. Фигура эта называется фонарём Шварца, и после неё стало ясно, что площадь поверхности требует совсем другого определения.

Минимальные поверхности

Главная его тема — задача Плато: какую форму примет мыльная плёнка, натянутая на проволочный контур. Шварц решил её для ряда конкретных контуров, построив поверхности, которые до сих пор носят его имя, и получил за эту работу большую премию Берлинской академии в 1867 году.

Работал он медленно и печатал мало: полное собрание уместилось в два тома. Известен был чудачествами — состоял в добровольной пожарной дружине, помогал начальнику станции подавать сигналы к отправлению поезда и, по рассказам, требовал у знакомых точности во всём.

Умер в Берлине в ноябре 1921 года, семидесяти восьми лет.