Герон Александрийский

Его имя носит формула, которую он, скорее всего, не открывал, и метод извлечения корня, который в учебниках зовут ньютоновым. При этом собственное его дело — не геометрия, а машины.

Датировка по затмению

Когда жил Герон, долго не знали: оценки расходились на три столетия. Вопрос закрыл Отто Нойгебауэр в 1938 году, и способ поучителен.

В «Диоптре» Герон объясняет, как найти разность долгот двух городов, и берёт в пример конкретное лунное затмение, наблюдавшееся одновременно в Александрии и в Риме. Затмение с такими характеристиками одно — 13 марта 62 года. Значит, книга написана после него.

Так человек, у которого нет ни одной биографической даты, получил её из собственного примера в учебнике.

Машины

Прежде всего Герон — инженер, и список его устройств выглядит как каталог несбывшегося будущего.

Эолипил — полый шар с двумя изогнутыми трубками, вращающийся силой вырывающегося пара: первая паровая машина в истории, оставшаяся храмовой игрушкой. Автоматические двери, открывающиеся, когда на алтаре разводят огонь. Автомат для святой воды, выдающий порцию за брошенную монету, — первый торговый автомат. Одометр для измерения пройденного пути. И механический театр, разыгрывающий десятиминутное представление на верёвках и падающих грузиках.

Общего у всех этих вещей одно: они демонстрируют возможность, но не решают задачу. Античность не нуждалась в машине, пока был дешёвый труд.

Формула

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Она стоит в «Метрике» — книге, которой до конца XIX века никто не видел: её знали по пересказам, пока Рихард Шёне не нашёл рукопись в Константинополе в 1896 году.

Удивителен здесь не вид формулы, а её состав: площадь выражена через одни стороны, без высоты, угла и вспомогательного построения. Для треугольника это возможно потому, что три стороны задают его однозначно; для четырёхугольника формулы площади по сторонам не существует, пока не потребовать, чтобы он был вписанным, — и тогда получается формула Брахмагупты, из которой геронова выходит при $d=0$.

Приоритет. Ал-Бируни сообщает, что формула была у Архимеда, в сочинении, до нас не дошедшем. Тот же свидетель и тот же обвиняемый выступают в деле о теореме про ломаную. Герону при этом досталось немало: доказательство в «Метрике» его, изложение его и учебник, по которому формулу читали, тоже его.

Корень

Разбирая треугольник со сторонами 7, 8, 9, Герон получает $S=\sqrt{720}$ — и это число надо ещё вычислить. Он берёт $27$ (потому что $27^2=729$) и делает шаг

$$\frac{1}{2}\left(27+\frac{720}{27}\right)=26\tfrac56 ,$$

добавляя: если нужно точнее, повторите. Ответ верен до четвёртого знака после одного шага.

Это в точности метод Ньютона для уравнения $x^2-a=0$, записанный за шестнадцать веков до Ньютона. Число верных знаков при каждом шаге удваивается, поэтому третьего приближения хватает любому землемеру.

Кратчайший путь

В «Катоптрике» Герон доказывает, что при отражении свет идёт кратчайшим путём, и выводит отсюда равенство угла падения углу отражения. Приём — тот самый, которым в школе решают задачу о водопое: отразить точку относительно прямой и провести прямую.

Через шестнадцать веков Ферма заменит «кратчайший путь» на «кратчайшее время» — и та же мысль даст уже не отражение, а преломление. Из принципа Герона выросла оптика, а следом вариационное исчисление.

Ему же принадлежат «Пневматика», «Механика» (дошедшая по-арабски), «Белопоэтика» об осадных машинах и «Определения» — свод геометрических терминов. Из всего этого школа знает одну формулу, да и ту, возможно, чужую.