Якоб Штейнер

Самый последовательный человек в истории геометрии: он полагал, что всякая формула в геометрическом рассуждении есть признак непонимания, — и держался этого до конца.

Пастух

Родился в 1796 году в Утценсторфе под Берном, восьмой ребёнок в крестьянской семье. До четырнадцати лет работал в поле и на пастбище и не умел ни читать, ни писать.

В восемнадцать он ушёл из дому — против воли родителей — в Ивердон, в школу Песталоцци. Метод Песталоцци, где всё строится на наглядном созерцании, а не на заучивании правил, определил его на всю жизнь: Штейнер и потом будет утверждать, что геометрическую истину надо видеть, а не выводить.

Проучившись полтора года, он стал в той же школе учителем. Дальше — Гейдельберг, Берлин, годы частных уроков и школьного преподавания в нужде. В 1826 году, тридцати лет, он напечатал первую работу; в 1832-м вышла «Systematische Entwickelung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten voneinander», книга, сделавшая ему имя.

В 1834 году Якоби и Александр фон Гумбольдт добились, чтобы в Берлинском университете создали кафедру специально для него; он занимал её до смерти.

Геометрия без вычислений

Замысел «Систематического развития» — построить всю геометрию, выведя фигуры одну из другой проективными преобразованиями, без единой формулы. Прямая, пучок прямых, коника — всё получается из проективного соответствия между простейшими образами.

Его называли «величайшим геометром со времён Аполлония», и в этом мало преувеличения: техника, которую он создал, позволяла решать одним рассуждением задачи, требовавшие у аналитиков страниц выкладок.

Цена известна и была видна уже современникам. Штейнер печатно нападал на аналитическую геометрию, отказывался пользоваться алгеброй и не принимал мнимых элементов — а без них проективная геометрия неполна. Его школа за это заплатила: развитие пошло по пути, где алгебра и геометрия соединяются, а не спорят.

Теорема Понселе — Штейнера (1833): всё, что строится циркулем и линейкой, можно построить одной линейкой, если на плоскости дана хотя бы одна окружность вместе с центром. Это его результат в чистом виде — утверждение об инструментах, доказанное без вычислений.

Изопериметрическая задача

Штейнер дал пять доказательств того, что среди фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Главный его приём — симметризация: фигуру заменяют симметричной относительно прямой, не меняя площади и не увеличивая периметр; повторяя, приближаются к кругу.

Все пять доказательств содержали один и тот же пробел, и на него указывали сразу — и Дирихле, и Вейерштрасс: рассуждение показывает, что если оптимальная фигура существует, то это круг, — а существования не доказывает. Штейнер пробел не признал и считал придиркой.

Пробел был настоящим. Закрыл его Вейерштрасс в 1870-е, доказав существование экстремума средствами анализа — то есть ровно теми средствами, которые Штейнер отвергал. Та же история повторится с принципом Дирихле, которым Риман пользовался как очевидным, а Вейерштрасс показал, что и он требует доказательства существования.

Задача Штейнера — Лемуса

В 1840 году берлинский преподаватель Кристиан Людольф Лемус послал задачу Штурму, а тот пустил её по кругу:

Если две биссектрисы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Утверждение выглядит очевидным двойником школьной теоремы о равных медианах или высотах — но те доказываются в две строки, а это не поддаётся. Первым решил Штейнер, и с тех пор задача носит два имени.

Особенность её в том, что все известные доказательства косвенные: они устанавливают, что при неравных углах биссектрисы не равны. Существует ли прямое доказательство, обсуждается до сих пор; на этот счёт написано несколько десятков статей, и вопрос упирается в то, что считать прямым доказательством.

Ему же принадлежат задача Штейнера о кратчайшей сети, соединяющей заданные точки (обобщение точки Торричелли; в теории сложности она оказалась NP-полной), поверхность Штейнера, она же римская поверхность, и цепочки Штейнера из касающихся окружностей.

Конец

Штейнер был человеком тяжёлым: резким в спорах, грубым с учениками, обидчивым. Женат не был. Он не терпел, когда его результаты доказывали иначе, и с большинством берлинских коллег перессорился — кроме Якоби, которого уважал.

Печатал он мало и неохотно, значительная часть найденного осталась в записных книжках без доказательств; разбирать их потом пришлось ученикам.

Умер в Берне в апреле 1863 года, шестидесяти шести лет. Состояние он завещал Берлинской академии — на премию по геометрии, которая присуждается до сих пор.