Менелай Александрийский

Единственное твёрдое свидетельство о нём — чужая книга: Птолемей в «Альмагесте» приводит два менелаевых наблюдения покрытий звёзд Луной, сделанных в Риме в первый год правления Траяна, то есть в 98 году. Всё остальное — догадки.

Александриец в Риме

Прозвище «Александрийский» за ним закрепилось прочно: видимо, там он учился или работал прежде. Но датируемая точка его биографии — римская, и точка на карте поэтому стоит в Риме. До неё римских точек на карте не было вовсе, и это само по себе показательно: Рим блестяще строил дороги и акведуки и не дал математике почти ничего.

Папп называет его «Менелаем геометром», арабские авторы — Милауш. Больше о нём не знает никто.

«Сферика»

Главное сочинение — «Сферика» в трёх книгах. Греческий текст утрачен целиком; книга дошла по-арабски, в переводах и переработках IX–XI веков, а полноценное издание вышло только в 1758 году — его подготовил Эдмонд Галлей, тот самый.

Первая книга начинается с того, чего до Менелая не было: он определяет сферический треугольник — фигуру, ограниченную дугами больших кругов, — и рассматривает его сам по себе, а не как след пересечения плоскостей. Дальше по образцу первой книги «Начал» строится вся теория: признаки равенства, неравенство треугольника, соотношения сторон и углов.

Два его вывода для плоскости просто ложны:

• сумма углов сферического треугольника больше развёрнутого;
• если у двух сферических треугольников равны все три угла, треугольники равны.

Второе стоит перечитать. На сфере нет подобия: увеличить фигуру, сохранив форму, нельзя, размер определяется углами однозначно. Античность не сделала из этого никаких выводов — сфера считалась поверхностью внутри обычного пространства. Между тем отсутствие подобных фигур окажется отличительной чертой и геометрии Лобачевского тоже.

Теорема Менелая

Плоский вариант нужен ему как лемма к сферическому. Ирония в том, что помнят именно лемму.

Если прямая пересекает прямые, содержащие стороны треугольника $ABC$, в точках $D$, $E$, $F$, то
$$\frac{AF}{FB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}=1.$$

Доказывается в четыре строки — опустить из вершин перпендикуляры на секущую и перемножить три отношения подобия. Верно и обратное, но формулировать его без знаков у отрезков неудобно: прямая пересекает либо одну сторону и два продолжения, либо три продолжения, а произведение неориентированных отношений в обоих случаях равно единице. Лечится это тем, что отрезку приписывают знак, — но знак у отрезка появится только в 1803 году.

Конфигурация, с которой он работает, называется полным четырёхсторонником: четыре прямые общего положения, шесть точек пересечения, три диагонали. Из неё же выйдет замеченный Гауссом в 1810 году факт: середины трёх диагоналей лежат на одной прямой.

Правило шести величин

Ради чего всё затевалось — сферический вариант, который арабские авторы звали правилом шести величин, а латинские — regula sex quantitatum: те же три отношения, но вместо длин отрезков — синусы дуг.

Полторы тысячи лет это была главная счётная формула астрономии. Любая задача о положении светила сводилась к тому, чтобы удачно провести дуги, получить менелаеву конфигурацию и подставить шесть величин, из которых пять известны.

Неудобство очевидно: вспомогательное построение приходится изобретать заново каждый раз. Избавление пришло в X веке вместе со сферической теоремой синусов, и после этого теорема Менелая из рабочего инструмента превратилась в изящный факт школьной планиметрии.

Двойник через шестнадцать веков

Двойственное утверждение — про три прямые, проходящие через одну точку, — запишет Джованни Чева в 1678 году. В школьном учебнике две теоремы стоят рядом, на одной странице, и ничто не выдаёт, что между ними лежит вся история Европы.

Менелаю приписывают также утраченные сочинения о вычислении хорд (шесть книг), о специальных кривых и о весе тел — по свидетельству ал-Хазини, там разбиралось определение состава сплава взвешиванием в воде. Ни одно из них не сохранилось.