Клавдий Птолемей

Едва ли не единственный античный автор, чья главная книга дошла целиком и вытеснила всё, на что опиралась. Мы знаем греческую астрономию до Птолемея почти исключительно по Птолемею — потому что после него предшественников перестали переписывать.

Человек без биографии

Жил и работал в Александрии, около 100–170 годов. Имя составное и говорит о происхождении больше, чем все источники: Клавдий — римское родовое имя, доставшееся, вероятно, вместе с гражданством, Птолемей — египетское династическое. Грек по языку, египтянин по месту, римский подданный по праву.

Ни одной личной подробности не сохранилось. Известны только книги, и книг много: «Альмагест», «География», «Оптика», «Гармоники», «Тетрабиблос» по астрологии, «Планисферий» о стереографической проекции.

Книга с арабским именем

Свой главный труд он назвал «Μαθηματικὴ Σύνταξις» — «Математическое построение». Греки, отличая его от книг попроще, стали говорить «μεγίστη», величайшая; арабы превратили это в al-majisṭī; латинский перевод с арабского дал «Альмагест». Под этим гибридным именем книга и живёт.

Тринадцать книг, написанных около 150 года. Геоцентрическая система с эпициклами, эксцентрами и эквантом — модель, которая работала: она давала положения планет с точностью, достаточной для календаря и мореплавания, и продержалась до Кеплера именно поэтому, а не по инерции.

Нас здесь интересует первая книга: прежде чем говорить о небе, Птолемей выкладывает всю математику, которая понадобится, — и получается первый в истории полный курс тригонометрии.

Таблица хорд

Радиус он берёт $R=60$ и работает в шестидесятеричных дробях, унаследованных от Вавилона. Отсюда наши единицы: доли первого деления на шестьдесят назывались partes minutae primae — отсюда минута, второго деления — partes minutae secundae, отсюда секунда. Школьник, записывающий $37^\circ 24' 15''$, пользуется системой счисления бронзового века через посредство александрийского астронома.

Таблица идёт от нуля до развёрнутого угла с шагом в полградуса — 360 строк, каждая с точностью примерно до одной стотысячной. Ничего сравнимого по объёму вычислений античность больше не произвела.

Теорема Птолемея

Чтобы построить таблицу, нужны переходы: от хорды дуги — к хорде дополнения, к хорде разности и к хорде половины. Второе и есть та самая теорема.

В четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:
$$AC\cdot BD = AB\cdot CD + BC\cdot AD.$$

Возьмите вписанный прямоугольник: диагонали равны, противоположные стороны тоже, и остаётся $d^2=a^2+b^2$. Теорема Пифагора оказывается частным случаем.

Есть и неравенство Птолемея: для любых четырёх точек плоскости произведение диагоналей не превосходит суммы произведений противоположных сторон, а равенство достигается ровно тогда, когда точки лежат на одной окружности в таком порядке. До сих пор рабочий инструмент олимпиадной геометрии.

Взяв вписанный четырёхугольник с диаметром в качестве стороны, Птолемей выводит отсюда хорду разности дуг — то есть, в современной записи, формулы синуса и косинуса разности. Вся школьная тригонометрия выходит из одной теоремы о четырёхугольнике.

Что здесь чужое

Честная оговорка, которую Птолемей делает сам: почти всё, чем он пользуется, восходит к Гиппарху, составившему первую таблицу хорд около 150 года до н. э. Гиппарховы сочинения утрачены, и отделить его вклад от птолемеева невозможно.

Более того, современные исследователи упрекают Птолемея в подгонке: часть «наблюдений» в «Альмагесте», по-видимому, вычислена из модели, а не измерена. Спор об этом идёт с XVIII века и не закрыт.

География и остальное

«География» — восемь книг с координатами восьми тысяч пунктов и наставлением, как строить картографические проекции. Ошибка в оценке окружности Земли (он взял меньшую из ходивших величин) сделала Азию слишком близкой к Европе — и через тринадцать веков подтолкнула Колумба плыть на запад.

В «Оптике» разобрано преломление с таблицами углов; в «Гармониках» — теория музыкальных интервалов. Птолемей умер около 170 года в Александрии. Его модель мира держалась четырнадцать веков — дольше, чем любая другая физическая теория в истории.