Колин Маклорен

Самый молодой профессор в истории британских университетов и, по общему мнению современников, лучший математик Британии после Ньютона.

Вундеркинд

Родился в 1698 году в Килмодане в Аргайле, в семье священника. Осиротел в младенчестве и воспитывался дядей. В одиннадцать лет поступил в университет Глазго, в пятнадцать защитил магистерскую диссертацию о тяготении, в девятнадцать — по конкурсу получил кафедру математики в Абердине.

В 1719 году он приехал в Лондон, познакомился с Ньютоном и был избран в Королевское общество. Ньютон отнёсся к нему с редкой для себя теплотой и в 1725 году рекомендовал на кафедру в Эдинбурге — предложив из своего кармана доплачивать жалованье, если университет не найдёт денег. Маклорен занимал эту кафедру до конца жизни.

Ещё в двадцать пять лет он получил премию Парижской академии за работу об ударе тел, и потом получал её дважды.

«Трактат о флюксиях»

В 1734 году епископ Джордж Беркли выпускает «Аналиста» — сочинение, где показывает, что бесконечно малые есть «призраки почивших величин»: их то отбрасывают, то нет, и никаких правил на этот счёт не сформулировано. Упрёк был справедлив, и ответить надо было по существу.

Ответил Маклорен — «Treatise of Fluxions» (1742), два тома, более семисот страниц. Замысел его характерен: обосновать анализ без бесконечно малых вообще, средствами античной геометрии, через метод исчерпывания Евдокса и Архимеда с двойным приведением к абсурду.

Задача была решена. Строгость получилась безупречная — и цена оказалась непомерной: читать это невозможно. Британская математика, взявшая книгу за образец, на полвека увязла в геометрических доказательствах там, где континент считал по формулам, и отставание, начавшееся со спора о приоритете, только углубилось.

Ряд

Разложение

$$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots$$

стоит во втором томе «Трактата». Это частный случай ряда Тейлора при $a=0$, и сам Маклорен на приоритет не претендовал: он прямо ссылался на Тейлора и на Стирлинга. Имя закрепилось потому, что именно в такой форме разложение оказалось нужно чаще всего.

Ему же принадлежит формула Эйлера — Маклорена, связывающая сумму значений функции в целых точках с интегралом от неё:

$$\sum_{k=a}^{b} f(k)\approx\int_a^b f(x)\,dx+\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum \frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right).$$

Эйлер нашёл её независимо и почти одновременно (1735 и 1738 годы против маклореновых 1742-го). Формула — рабочий инструмент до сих пор: из неё получают асимптотику факториала, значения дзета-функции и оценки в аналитической теории чисел.

Из его же трактата — правило Крамера для двух и трёх неизвестных, изложенное в «Трактате об алгебре» и напечатанное посмертно в 1748 году, за два года до книги Крамера.

Эллипсоиды и город

Маклорен занимался притяжением эллипсоидов и доказал, что сплюснутый эллипсоид вращения — фигура равновесия вращающейся жидкости; такие эллипсоиды до сих пор зовут маклореновыми сфероидами. Из этой работы выросла вся теория фигуры Земли.

Он был человеком практическим: устраивал в Эдинбурге страховое общество для вдов священников (одно из первых в мире, построенных на актуарных расчётах), участвовал в основании Эдинбургского королевского общества, консультировал по картографии и составлял таблицы.

1745 год

Осенью 1745 года к Эдинбургу подошли войска Карла Эдуарда Стюарта. Маклорен, убеждённый сторонник ганноверской династии, взялся руководить укреплением города: чертил валы, ставил заграждения, работал сутками.

Город всё равно сдался. Маклорен бежал в Йорк, простудившись в дороге, и вернулся уже больным. Он умер в Эдинбурге в июне 1746 года, сорока восьми лет, диктуя до последнего дня главу об устройстве Солнечной системы.