Габриэль Крамер

Правило Крамера напечатано в приложении. Не в главе, не в параграфе — в приложении, куда автор сложил то, что понадобится читателю по дороге.

Женевец

Родился в 1704 году в Женеве, в семье врача. В восемнадцать лет защитил диссертацию о звуке, в двадцать получил кафедру математики в Женевской академии — с условием, которое стоит запомнить: кафедру поделили между ним и его ровесником Жаном Калландрини, чтобы один мог преподавать, пока другой путешествует.

Крамер путешествием воспользовался сполна. Два года он объезжал Европу: Базель, где подружился с Иоганном и Даниилом Бернулли, Лондон, где познакомился с Галлеем и де Муавром, Лейден, Париж. Знакомства эти определили всю дальнейшую его работу.

Издатель

Главным своим делом Крамер считал не собственные исследования, а издание чужих. Он выпустил полное собрание сочинений Иоганна Бернулли (четыре тома, 1742) и посмертное — Якоба Бернулли (два тома, 1744), а также переписку Иоганна Бернулли с Лейбницем. Это огромная и неблагодарная работа, без которой значительная часть математики начала XVIII века была бы известна нам куда хуже.

Он же вёл обширную переписку — с Эйлером, Даламбером, Муавром, Клеро — и был в ней тем человеком, который сводит других. Именно Крамеру Даниил Бернулли в письме 1728 года сообщил свою идею убывающей полезности, и Даниил честно упомянул потом, что Крамер пришёл к близкой мысли раньше.

«Введение в анализ алгебраических кривых»

Книга вышла в Женеве в 1750 году. Задача её — классификация алгебраических кривых по степеням, и задача эта требует уметь проводить кривую через заданные точки, то есть решать линейные системы.

Отсюда и приложение, где стоит правило:

$$x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},$$

где $\Delta$ — определитель системы, а $\Delta_i$ получается заменой $i$-го столбца столбцом свободных членов.

Слова «определитель» ещё нет: Крамер описывает словами, как из коэффициентов составляется знакопеременная сумма произведений, и формулирует правило знаков через число инверсий. Само понятие получит имя у Гаусса и Коши, а разложение по строке — у Лапласа в 1772 году.

Приоритет и здесь спорен: Лейбниц знал существо дела ещё в 1693 году, в письме Лопиталю, а Маклорен изложил случаи двух и трёх неизвестных в «Трактате об алгебре», напечатанном посмертно в 1748-м. Но именно запись Крамера была общей, ясной и попала в учебники.

Практическая ценность правила, стоит сказать честно, невелика: считать по нему систему из десяти уравнений безумие, там нужен метод Гаусса. Ценность его теоретическая — из формулы прямо видно, когда решение существует и единственно. Фредгольм в 1900 году будет разбирать интегральные уравнения ровно по этому образцу, следя, во что переходят определитель и формулы Крамера при переходе к бесконечности; то же сделает Гильберт.

Парадокс Крамера

В той же книге стоит затруднение, которое он честно выносит на обсуждение. Кривая порядка $n$ определяется, вообще говоря, $\tfrac{n(n+3)}{2}$ точками: для кубики это девять. Но по теореме Безу две кубики пересекаются в девяти точках — и через эти девять проходят обе. Значит, девяти точек мало?

Разрешение — в том, что девять точек пересечения двух кубик не независимы: восемь из них определяют девятую. Полную ясность внесли Плюккер и Якоби уже в XIX веке. Крамер парадокс не разрешил, но сформулировал так точно, что им занимались сто лет.

Конец

Он был человеком общественным: член Большого совета Женевы, занимался городскими делами, консультировал по вопросам укреплений и артиллерии, писал о причинах северного сияния и о форме земной орбиты.

В 1750 году он упал с экипажа и получил травму, от которой не оправился. Врачи отправили его на юг Франции; он умер в Баньоль-сюр-Сез в январе 1752 года, сорока восьми лет, через полтора года после выхода единственной своей книги.