Этьен Безу

Случай, когда учебник оказался важнее исследований, а имя досталось теоремам, которые автор не доказывал.

Экзаменатор

Родился в 1730 году в Немуре, в семье потомственных судейских. Отец готовил его к той же карьере; чтение Эйлера решило дело иначе.

В 1758 году Безу принят в Парижскую академию, в 1763-м назначен экзаменатором гардемаринов, с 1768-го — ещё и артиллерийского корпуса. Должность была не почётной синекурой: он объезжал школы, принимал экзамены и отвечал за то, каким требованиям обязан удовлетворять офицер.

Отсюда и главное его сочинение — «Cours de mathématiques à l'usage des gardes du pavillon et de la marine» (1764–1769), шесть томов, потом переработанные для артиллеристов. Курс написан для людей, которым математика нужна как инструмент, и написан внятно; его переводили и переиздавали десятилетиями, в том числе в Америке, где по Безу учили в Вест-Пойнте и Гарварде.

Три теоремы Безу

Первая — школьная. Остаток от деления многочлена $P(x)$ на $x-a$ равен $P(a)$; отсюда следствие: $a$ — корень тогда и только тогда, когда $P(x)$ делится на $x-a$. Утверждение это старше Безу: в существе своём оно есть уже у Декарта, а как отдельная теорема выделено позже. Русская школьная традиция закрепила за ним имя Безу; во французских и английских учебниках оно чаще зовётся «теоремой об остатке» без всякого имени.

Вторая — соотношение Безу. Для целых $a$ и $b$ существуют такие целые $u$ и $v$, что
$$au+bv=\gcd(a,b).$$
Для целых чисел это доказал Баше де Мезириак в 1624 году; Безу доказал аналог для многочленов — и именно поэтому имя закрепилось за общим утверждением. Соотношение — рабочая часть алгоритма Евклида: расширенный алгоритм как раз и находит $u$ и $v$, а на этом стоит вся современная арифметика вычетов.

Третья — настоящая. Две алгебраические кривые степеней $m$ и $n$ пересекаются ровно в $mn$ точках, если считать точки с кратностями, комплексные и бесконечно удалённые. Это глубокий результат, из которого следует, например, что две коники имеют четыре общие точки, а две окружности — тоже четыре, просто две из них мнимые и лежат на бесконечности. Безу сформулировал и обосновал его в «Théorie générale des équations algébriques» (1779); полное доказательство пришло только в XIX веке.

Исключение неизвестного

Книга 1779 года посвящена одной задаче: как из системы уравнений исключить неизвестные. Безу строит для этого технику результантов — определителей, обращение которых в нуль означает, что у двух многочленов есть общий корень.

Занятие это выглядело скучным даже современникам, а между тем именно оттуда выросла элиминационная теория, а из неё — большая часть алгебраической геометрии XIX века. Над той же задачей в те же годы работали Эйлер, Крамер и Лагранж; пятая степень, которую все они пробовали на прочность, устоит до Абеля.

Конец

Безу был человеком тихим и, по свидетельствам, добрым; о нём не осталось ни одной ссоры о приоритете — редкость для XVIII века. Умер в 1783 году в Бас-Лож под Фонтенбло, пятидесяти двух лет.

Его учебник пережил его на полвека, а имя — навсегда, хотя из трёх носящих его утверждений школьник встречает как раз то, которое Безу не открывал.