Уильям Тёрстон

Двумерные поверхности классифицированы полтора века назад, и классификация красива: всякая замкнутая поверхность несёт одну из трёх геометрий — сферическую, евклидову или гиперболическую. В трёх измерениях порядка не было никакого. Тёрстон его увидел.

Восемь геометрий

Гипотеза геометризации, сформулированная в конце 1970-х, устроена по образцу двумерного случая, но с поправкой: постоянной кривизны трёх видов не хватает. Нужно восемь модельных геометрий, и одна из них — гиперболическая — оказывается подавляюще самой частой; остальные семь встречаются в исключительных случаях.

Утверждение таково: всякое замкнутое трёхмерное многообразие канонически режется по сферам и торам на куски, и каждый кусок несёт одну из этих восьми геометрий.

Гипотеза Пуанкаре отсюда получается мимоходом: односвязное многообразие может нести только сферическую геометрию, а такое многообразие ровно одно — трёхмерная сфера. Задача, простоявшая век и считавшаяся центральной, оказалась частным случаем утверждения гораздо более общего.

Сам Тёрстон доказал свою гипотезу для большого класса случаев — многообразий Хакена. Филдсовская медаль 1982 года. В общем виде гипотеза устояла до Перельмана, закрывшего её в 2002–2003 годах риччиевым потоком с хирургией.

Спор о том, что считать результатом

Тёрстон перестроил не только предмет. Он работал так, что это вызвало спор о самой природе математической работы: результаты объявлялись, семинары шли, ученики их развивали, а полные тексты доказательств появлялись с большим опозданием или не появлялись вовсе.

В 1994 году он ответил на упрёки статьёй «О доказательстве и прогрессе в математике» — одним из самых читаемых текстов о том, как устроена эта профессия. Основной довод: математика продвигается не накоплением напечатанных доказательств, а ростом понимания в головах людей, и работа математика — увеличивать это понимание; статья лишь один из способов его передать, и не всегда лучший.

Он и в самом деле умел передавать. Его лекции и книга «Трёхмерная геометрия и топология» научили целое поколение видеть гиперболическое пространство изнутри; он делал бумажные и вязаные модели, работал с художниками и хореографами, отвечал новичкам на MathOverflow подробнее, чем требовалось.

Раньше и позже

До геометризации была теория слоений: за работы о них он получил в 1976 году премию Веблена, а потом сам ушёл из области — по его словам, потому, что после его результатов туда перестали идти молодые, и он счёл, что вытоптал поле.

Помимо главного, ему принадлежат норма Тёрстона и классификация Нильсена — Тёрстона, разбирающая все гомеоморфизмы поверхности на три вида. А ещё он сделал гиперболическую плоскость наглядной: те самые мозаики, которые рисовал Эшер по подсказке Коксетера, у Тёрстона стали рабочим инструментом, а не картинкой.

Работал в Принстоне, Беркли, Дэвисе, последние годы в Корнелле. Умер в 2012 году от меланомы, шестидесяти пяти лет.