Джованни Чева

Одно условие на произведение трёх отношений — и сразу понятно, почему медианы, биссектрисы и высоты пересекаются каждые в своей точке. Автор этого условия был инженером на службе, а не профессором.

Служба

Родился в Милане в 1647 году, учился в иезуитской коллегии Брера и в Пизе. С 1686 года служил в Мантуе — сначала у герцогов Гонзага, потом, после перехода города к Габсбургам, у них. Должность была не университетская: он ведал гидравликой и монетным делом.

Обе службы дали книги. По монетному делу — «De re numaria» (1711), один из первых текстов, где к деньгам применена математика: Чева рассматривает соотношение стоимости монет как задачу на пропорции и предупреждает о последствиях порчи монеты. По гидравлике — заключения о речных работах, и среди них знаменитое: он выступил против проекта отвода реки Рено в По, объяснив, чем это кончится для окрестных земель. Его не послушали; кончилось, как он и говорил.

⚠ У него был брат — Томмазо Чева (1648–1737), иезуит, тоже математик и вдобавок латинский поэт. Оба публиковались, обоих зовут Чева, и путать их будут постоянно.

Книжка про статику

«De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio» — «О взаимно пересекающихся прямых: статическое построение», Милан, 1678.

Название сообщает метод, и метод неожиданный. Statica — это про равновесие: Чева доказывает чисто геометрическое утверждение, развешивая грузы. Приём восходит к Архимеду, находившему площади и объёмы взвешиванием; Чева переносит его туда, где никакой физики нет вовсе.

Отрезки $AX$, $BY$, $CZ$, соединяющие вершины треугольника с точками на противоположных сторонах, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда
$$\frac{BX}{XC}\cdot\frac{CY}{YA}\cdot\frac{AZ}{ZB}=1.$$

Отрезок такого вида с тех пор называют чевианой.

Доказательство грузами объясняет то, чего не объясняет проверка вычислением: почему произведение равно именно единице. Поместим в вершины грузы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$; центр тяжести пары делит сторону обратно пропорционально массам, и три отношения оказываются равны $\gamma/\beta$, $\alpha/\gamma$, $\beta/\alpha$. Единица получается сокращением дроби — иначе быть не могло.

Подставляя массы, получаем всю школьную теорию замечательных точек: единичные грузы дают медианы и центр тяжести, длины сторон — биссектрисы и центр вписанной окружности, тангенсы углов — высоты и ортоцентр.

Возвращение Менелая

В той же книжке Чева печатает теорему Менелая — забытую к тому времени настолько, что её приходилось вводить заново. С тех пор две теоремы стоят рядом, хотя между ними шестнадцать веков.

Они двойственны: поменяйте местами слова «точка» и «прямая» — и одна превратится в другую. Это в точности та двойственность, которую Дезарг нащупал за сорок лет до Чевы и которую Понселе сформулирует только в XIX веке. Чева ею пользуется, не называя.

Тригонометрический вариант

Позже он получил и форму, которую школа знает как тригонометрическую теорему Чевы: три чевианы сходятся в точке тогда и только тогда, когда произведение трёх отношений синусов углов, на которые они делят углы треугольника, равно единице. В этой форме теорема годится там, где отношения отрезков считать неудобно, — например, для доказательства того, что биссектрисы внешних углов и симедианы тоже сходятся.

Чева написал ещё «Opuscula mathematica» (1682) о центрах тяжести и «De re numaria», а под конец жизни занимался геометрией на поверхностях. Умер в Мантуе в 1734 году, восьмидесяти семи лет, оставаясь на службе почти до конца.