Эдуард Люка

Серьёзный теоретик чисел и профессиональный сочинитель головоломок в одном лице — сочетание редкое и, как оказалось, плодотворное: тест, которым он развлекался с числами Мерсенна, работает и сегодня.

Артиллерист

Родился в 1842 году в Амьене. Окончил Высшую нормальную школу, работал в Парижской обсерватории у Леверье. Во время франко-прусской войны служил артиллерийским офицером; после войны преподавал математику в парижских лицеях Сен-Луи и Карла Великого и оставался школьным учителем до конца жизни.

Тест

Числа вида $M_p=2^p-1$ носят имя Марена Мерсенна, опубликовавшего в 1644 году список показателей, при которых они, по его мнению, просты. В списке пять ошибок, и проверить его целиком удалось лишь к 1947 году.

Люка занимался последовательностями, обобщающими числа Фибоначчи, — $U_{n+1}=P\,U_n-Q\,U_{n-1}$, — и обнаружил, что их свойства делимости дают критерий простоты, а не только необходимое условие, как у теста Ферма. Проверка требует ровно $p-2$ шагов, каждый из которых — возведение в квадрат по модулю.

В 1876 году он применил свой тест к числу $2^{127}-1$ — тридцать девять цифр — и доказал, что оно простое. Вручную, без единой вычислительной машины. Рекорд наибольшего известного простого числа продержался семьдесят пять лет, до появления ЭВМ.

Тогда же он показал, что $2^{67}-1$ составное, — не найдя ни одного делителя, а только по невыполнению критерия. Разложение нашлось лишь в 1903 году: Фрэнк Нельсон Коул молча вышел к доске на заседании Американского математического общества, перемножил в столбик два числа, получил $2^{67}-1$ и сел, не сказав ни слова. На вопрос, сколько это заняло, он ответил: «три года воскресений».

Уточнённый Дерриком Лемером в 1930-е, тест Люка — Лемера до сих пор остаётся основным: проект GIMPS гоняет его на десятках тысяч добровольческих компьютеров, и все рекорды последних тридцати лет принадлежат ему.

Головоломки

Ханойская башня (1883) выпущена под псевдонимом «профессор Н. Клаус из Сиама» — анаграмма от «Люка д'Аман». Перенос $n$ дисков требует $2^n-1$ ходов, снова числа Мерсенна; приложенная легенда о шестидесяти четырёх золотых дисках в храме Брахмы даёт $2^{64}-1\approx1{,}8\cdot10^{19}$ ходов и тем самым — наглядный урок о том, что такое экспоненциальный рост.

Числа Люка $2,1,3,4,7,11,18,\dots$ — та же рекуррента, что у Фибоначчи, с другим началом; они связаны соотношением $L_n=F_{n-1}+F_{n+1}$. Кстати, само название «числа Фибоначчи» ввёл именно Люка.

Задача о пушечных ядрах (1875): при каких $n$ сумма квадратов $1^2+2^2+\cdots+n^2$ есть точный квадрат? Люка предположил, что единственное нетривиальное решение — $n=24$, $m=70$; строго доказал это Уотсон в 1918-м. Число 24 здесь не случайно: оно же отвечает за исключительность решётки Лича и за критическую размерность 26 в бозонной теории струн.

Четыре тома «Récréations mathématiques» (1882–1894) — образцовое собрание задач, головоломок и игр с разбором математики за ними. Оттуда пошла целая традиция; на этих книгах выросли Дьюдени, Сэм Лойд и, через них, Мартин Гарднер.

Смерть

В 1891 году на банкете Французской ассоциации содействия развитию наук официант уронил посуду; осколок тарелки рассёк Люка щёку. Началось рожистое воспаление, и через несколько дней он умер, сорока девяти лет от роду.

Он успел заявить программу — теорию чисел, построенную на рекуррентных последовательностях, — и не успел её изложить. Значительная часть его результатов дошла в виде заметок и заявок без доказательств; разбирали их потом десятилетиями.