Джеймс Стирлинг

Двадцать последних лет жизни он управлял свинцовыми рудниками и математикой почти не занимался. Формула его имени к тому времени была уже написана.

Изгнанный

Родился в 1692 году в Гардене под Стерлингом, в семье убеждённых якобитов. В 1711 году поступил в Баллиол-колледж в Оксфорде на стипендию, требовавшую присяги ганноверской династии. Присягать он отказался.

В 1715 году, после якобитского восстания, его обвинили в переписке с мятежниками, судили и оправдали, но стипендии и права на степень лишили. Оксфорд он покинул ни с чем.

В 1717 году в Венеции выходит его первая книга — «Lineae tertii ordinis Neutonianae», о кривых третьего порядка: дополнение и продолжение классификации Ньютона. Ньютон разобрал 72 вида кубик; Стирлинг добавил ещё четыре.

Венецианец

В Венеции он прожил несколько лет, преподавая и, по-видимому, пытаясь получить кафедру в Падуе. Прозвище «Венецианец» осталось за ним на всю жизнь.

Уехал он внезапно, около 1722 года. Собственное его объяснение, дошедшее в письмах, таково: он выведал у мурановских стеклодувов секрет их производства, а секрет этот в Венецианской республике охранялся смертной казнью. Пришлось бежать. Помог, по преданию, Ньютон, ссудивший денег на дорогу.

Формула

Задача о приближённом вычислении $n!$ для больших $n$ возникла из теории вероятностей: де Муавру она понадобилась, чтобы получить предельный вид биномиального распределения — то есть нормальный закон.

Де Муавр в 1730 году получил, что

$$n!\sim B\cdot n^{n+1/2}e^{-n},$$

но не знал, что за число $B$. Ему написал Стирлинг, указавший, что $B=\sqrt{2\pi}$. Так возникла формула

$$n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n},$$

которую называют формулой Стирлинга, хотя основную работу проделал де Муавр, а константу — Стирлинг. Постоянная $\sqrt{2\pi}$ всплывала и у Якоба Бернулли, который дошёл до неё в «Ars Conjectandi», но тоже не опознал.

Это самый чистый образец того, как имя достаётся не за главное. Впрочем, находка Стирлинга была нетривиальна: он получил $\sqrt{2\pi}$ из формулы Валлиса, и без неё формула остаётся бесполезной, потому что неизвестная константа лишает оценку смысла.

«Methodus differentialis»

Книга 1730 года — главная его работа, и посвящена она не факториалу, а ускорению сходимости рядов. Стирлинг разрабатывает технику преобразования медленно сходящегося ряда в быстро сходящийся и применяет её к вычислениям с высокой точностью.

Оттуда же числа Стирлинга первого и второго рода — коэффициенты, связывающие обычные степени с убывающими факториалами и считающие разбиения множества на блоки. В комбинаторике они стоят рядом с биномиальными коэффициентами и числами Белла, и в этом качестве живут до сих пор.

Свою формулу Стирлинг напечатал там же — как пример на применение метода.

Рудники

В 1735 году он принял место управляющего Шотландской горнорудной компанией в Ленд-Хиллс: свинцовые рудники, шахты, водоотлив, дороги. Место он занимал тридцать пять лет и вёл дело хорошо — по свидетельствам, рудники при нём работали лучше, чем когда-либо.

Математики в этой жизни оставалось мало. Он выполнил съёмку реки Клайд для проекта углубления фарватера (Глазго наградил его серебряным чайником), считал вентиляцию шахт и переписывался с Эйлером и Крамером.

Умер в Эдинбурге в декабре 1770 года, семидесяти восьми лет. Членом Королевского общества он был с 1726 года — единственная академическая честь, которую ему всё-таки отдали.