Альфредо Капелли

Теорема, которая в русском учебнике стоит первой в главе о системах линейных уравнений, в мире называется четырьмя разными именами, и это само по себе поучительно.

Неаполь

Родился в 1855 году в Милане. Учился в Риме у Луиджи Кремоны и Джузеппе Баттальини, преподавал в Палермо, а с 1886 года и до смерти — профессор алгебры в Неаполитанском университете.

С 1894 года он редактировал «Giornale di Matematiche» — журнал Баттальини, один из главных итальянских математических изданий. Итальянская алгебра конца века во многом прошла через его руки.

Признак совместности

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

Утверждение простое, а история имени запутанная. Эжен Руше напечатал его во Франции в 1875 году, Георг Фробениус — в Германии, Альфредо Капелли — в Италии, в курсе алгебраического анализа, написанном вместе с Джованни Гарбьери (1886), и в отдельной работе 1892 года. Кронекер сформулировал условие через определители.

Отсюда четыре названия: у нас Кронекера — Капелли, у англичан Руше — Капелли, у французов Руше — Фонтене, у испанцев Руше — Фробениуса. Один и тот же школьный факт, четыре национальные традиции — и ни одна не ошибается, просто каждая помнит своего.

Смысл теоремы стоит проговорить: она сводит вопрос о существовании решения к вычислению двух чисел. Ровно то же делает правило Крамера для случая единственного решения, и ровно то же — альтернатива Фредгольма, которая переносит эту логику на бесконечномерный случай: либо решение единственно, либо однородное уравнение имеет нетривиальное решение, третьего не дано. Гильберт замечал, что теоремы такого рода — о том, когда система разрешима, — образуют в математике отдельное семейство, куда входит и его теорема о нулях, и теорема о полноте в логике.

Тождество Капелли

Главная его работа — не про школу.

В 1887 году Капелли доказал тождество, связывающее определитель матрицы дифференциальных операторов с оператором Казимира. Записывается оно коротко, а работает как обобщение формулы «определитель произведения равен произведению определителей» на случай, когда элементы матрицы не коммутируют.

Понадобилось это ему в теории инвариантов — той самой, которой занимались Сильвестр и Кэли и которую Гильберт закрыл в 1888 году: тождество Капелли давало способ строить инварианты явно.

История его продолжилась неожиданно. Через сто лет тождество Капелли всплыло в теории представлений, в квантовых группах и в теории случайных матриц; о нём написаны обзоры и найдены обобщения, а сама формула считается одной из самых красивых в алгебре. Роджер Хау, вернувший к ней внимание в 1980-е, называл её жемчужиной, которую забыли.

Ему же принадлежит теорема Капелли о неприводимости двучлена $x^n-a$: он неприводим над полем тогда и только тогда, когда $a$ не является $p$-й степенью ни для какого простого $p\mid n$ и, при $4\mid n$, не имеет вида $-4b^4$.

Умер в Неаполе в январе 1910 года, пятидесяти четырёх лет.