Рунге и Кутта: решение, которого нет в формулах

Уравнение, которое не решается

Возьмём дифференциальное уравнение самого простого вида:

$$y'=f(x,y),\qquad y(x_{0})=y_{0}.$$

Со времён НьютонаИсаак Ньютонанглийский математик, физик и астроном · 1643–1727Создатель анализа, механики и оптики, четверть века проработавший начальником Монетного двора и потративший на алхимию и богословие больше бумаги, чем на физику. «решить» его означало выразить $y$ через известные функции — многочлены, экспоненты, синусы, интегралы от них. Именно этому учат в курсе дифференциальных уравнений: вот уравнения с разделяющимися переменными, вот линейные, вот однородные, и для каждого класса свой приём.

Беда в том, что классов этих ничтожно мало. Подавляющее большинство уравнений, возникающих в механике, баллистике и небесной механике, не решается в известных функциях вовсе — и не потому, что приёма ещё не нашли, а потому, что решение попросту не выражается через тот запас функций, который у нас есть.

Инженеру, которому нужна траектория снаряда, от этого не легче.

Шаг за шагом

Выход наметил ещё ЭйлерЛеонард Эйлершвейцарский математик, работавший в Петербурге и Берлине · 1707–1783Самый плодовитый математик в истории: около 900 работ, половина языка современной математики — от знака $\pi$ до записи $f(x)$ — и способность считать, не глядя.: если известны точка и наклон в ней, можно сделать маленький шаг по касательной и повторить. Получается ломаная, приближающая решение. Метод очевиден, и он плох: ошибка убывает пропорционально шагу, так что для трёх лишних знаков нужно в тысячу раз больше вычислений.

Карл Рунге (1856–1927) в 1895 году сообразил, как выжать из того же шага больше. Наклон в начале шага — плохая оценка наклона на всём шаге. А что если посчитать наклон в нескольких точках внутри шага и взять их взвешенное среднее? Каждый пробный наклон стоит одного вычисления $f$, но точность растёт куда быстрее, чем цена.

Мартин Вильгельм Кутта (1867–1944) в 1901 году привёл идею в систему и выписал семейство схем, из которого одна стала стандартом на весь XX век — метод четвёртого порядка: четыре пробных наклона на шаг, ошибка на шаге порядка $h^{5}$.

Уменьшили шаг вдвое — накопленная ошибка упала в шестнадцать раз. У Эйлера она упала бы вдвое.

Этой схемой считают траектории спутников и сегодня.

Что здесь на самом деле изменилось

Смена произошла не в технике, а в том, что считается ответом.

Формула отвечает на все вопросы сразу: подставь любое $x$ — получишь $y$. Численная схема не отвечает ни на один вопрос вообще — она отвечает на ваш вопрос: даёт таблицу значений на нужном отрезке с нужной точностью, и ничего сверх того.

Математика XVIII века сочла бы это поражением. Математика XX века согласилась считать это решением — при одном условии: должна быть доказана оценка погрешности. Численный метод без такой оценки не решение, а гадание; с оценкой — полноценный ответ, и в этом вся разница между вычислением и подгонкой.

Здесь же обнаружилась и обратная сторона. Тот же Рунге в 1901 году показал: если интерполировать функцию многочленом по равномерной сетке и увеличивать число узлов, приближение может не улучшаться, а расходиться — тем сильнее, чем больше узлов. Феномен Рунге — первое явное предупреждение линии: наивное «посчитаем поточнее» способно ухудшить ответ.

Кафедра

Есть у этой точки институциональная сторона, без которой картина неполна.

В 1904 году Феликс КлейнФеликс Клейннемецкий математик и организатор науки · 1849–1925Объяснил, что геометрия — это группа преобразований и её инварианты, а потом на тридцать лет превратил Гёттинген в мировую столицу математики. добивается создания в Гёттингене кафедры прикладной математики — первой в Германии — и приглашает на неё Рунге. До того численные методы считались подсобным ремеслом, уместным у инженера, но не у математика. Здесь впервые за ними признаётся звание математики — той самой, которую Клейн из Эрлангена привык мерить строгостью.

Следующая точка: Ленинград — где выяснилось, что оптимальный план и есть вычислительная задача.