Джамшид ал-Каши

Самарканд 1420-х годов — столица державы Тимуридов и по совместительству лучший в мире астрономический центр. Правит внук Тимура Улугбек, редкий случай государя, который сам считает. Ал-Каши — первый математик его обсерватории.

Кашан

Родился около 1380 года в Кашане, в Персии, в бедности. Первые работы — астрономические таблицы и трактат о лунных затмениях — он посвящал местным правителям в надежде на покровительство; жалобы на нужду в его письмах откровенны.

Около 1420 года Улугбек позвал его в Самарканд — строить медресе и обсерваторию. В письмах отцу ал-Каши описывает тамошнюю обстановку: государь разбирает астрономию свободно, спорит по существу и сам проверяет вычисления; учёные держатся уважительно и без раболепия.

Шестнадцать знаков

Задача о числе π поставлена у него не как упражнение, а по-инженерному: нужно, чтобы у окружности диаметром в шестьсот тысяч земных ошибка не превышала толщины волоса. Отсюда и требуемая точность.

Метод — архимедов: вписанные и описанные многоугольники, с последовательным удвоением числа сторон. Ал-Каши довёл счёт до многоугольника с $3\cdot2^{28}$ сторонами — это больше восьмисот миллионов — и получил

$$2\pi = 6{,}2831853071795865$$

— шестнадцать верных знаков после запятой, в шестидесятеричной записи девять разрядов. Прежний рекорд, китайский, держался тысячу лет; европейский результат сравнимой точности появится только у Лудольфа ван Цейлена в конце XVI века.

Десятичные дроби

Второе, чем он важен, — «Ключ арифметики» (1427), учебник для практиков: землемеров, строителей, купцов, астрономов.

Там систематически изложены десятичные дроби — не как курьёз, а как рабочий инструмент, с правилами всех действий. В Европе то же самое сделает Симон Стевин в 1585 году, на полтора века позже и независимо.

Там же — приёмы приближённого извлечения корней любой степени, формула, эквивалентная биному Ньютона для целых показателей, и треугольник биномиальных коэффициентов, известный в Китае с XI века и в Европе — как треугольник Паскаля.

Отдельная его работа — решение кубического уравнения $x^3 + q = px$ итерационным методом, с оценкой сходимости; понадобилось оно для вычисления синуса одного градуса с той же чудовищной точностью.

Конец

Ал-Каши умер 22 июня 1429 года у стен обсерватории. Версия об убийстве по приказу Улугбека появляется в поздних источниках и не подтверждается; сам Улугбек в письме отзывался о нём как о выдающемся учёном, хотя и жаловался на дурные манеры.

Улугбека убили в 1449 году по приказу собственного сына, обсерваторию разрушили, место забыли на четыре с половиной века — подземную часть квадранта нашёл археолог В. Л. Вяткин в 1908 году.