Казимеж Куратовский

Три вещи из его наследия студент встречает на первом курсе, и ни одна не выглядит как чьё-то личное изобретение: они кажутся частью самого языка.

Варшава и Львов

Родился в 1896 году в Варшаве, в семье известного адвоката. Учиться поехал в Глазго — инженерному делу; первую мировую войну это прервало, и в 1915 году, когда в занятой немцами Варшаве открылся польский университет, он поступил туда, уже на математику.

Он оказался в исключительном месте в исключительный момент. Возрождённая Польша сознательно поставила на математику как на область, где можно быстро выйти в первый ряд, и выбрала узкую специализацию: теория множеств, топология, основания. Расчёт оправдался полностью — журнал «Fundamenta Mathematicae», основанный в 1920 году, немедленно стал главным в мире по этим предметам.

Диссертацию Куратовский защитил в 1921 году. С 1927 по 1934 год он профессорствовал во Львовской политехнике — то есть входил в тот самый кружок, что заседал в «Шотландском кафе» вокруг Банаха и Штейнгауза, — а затем вернулся в Варшаву.

Определения

Топологическое пространство. Хаусдорф в 1914 году определил пространство через окрестности; Куратовский в 1922-м дал эквивалентное определение через операцию замыкания — четыре аксиомы, из которых всё выводится. В его же «Топологии» изложение идёт через открытые множества, и именно этим путём с тех пор идут учебники.

Упорядоченная пара. Как выразить «пара, в которой важен порядок» одними множествами? Куратовский в 1921 году предложил
$$(a,b)=\bigl\{\{a\},\{a,b\}\bigr\},$$
и этого достаточно: из такой записи однозначно восстанавливаются и первый элемент, и второй. Определение выглядит фокусом, но именно оно позволяет определить функцию, отношение и декартово произведение внутри теории множеств, ничего не добавляя к её языку.

Лемма Куратовского — Цорна (1922): в частично упорядоченном множестве, где всякая цепь имеет верхнюю грань, есть максимальный элемент. Цорн опубликовал её в 1935-м; Куратовский — на тринадцать лет раньше.

Критерий планарности

Граф укладывается на плоскость тогда и только тогда, когда не содержит подграфа, гомеоморфного полному графу на пяти вершинах или полному двудольному графу «три дома — три колодца».

Куратовский опубликовал это в 1930 году. Независимо и раньше — в 1927-м — тот же результат получил Лев Понтрягин, ослепший в четырнадцать лет, и не напечатал. Поэтому в мире теорему называют теоремой Куратовского, а в русских учебниках — теоремой Понтрягина — Куратовского, и обе традиции по-своему правы.

Красота результата в том, что бесконечное свойство («можно уложить») сведено к конечной проверке: достаточно поискать два конкретных подграфа.

Война и после

Оккупацию Куратовский провёл в Варшаве, преподавая в подпольном университете — за это полагался расстрел. Погибла примерно половина польских математиков: Юлиуш Шаудер, Станислав Сакс, Юзеф Шрейер, Герман Ауэрбах и десятки других; в июле 1941 года во Львове немцы расстреляли группу профессоров, среди которых был Антоний Ломницкий.

После войны Куратовский взялся собирать оставшееся. Он организовал Государственный математический институт (с 1952 года — институт Польской академии наук) и руководил им с 1949 по 1967 год, восстановил «Fundamenta Mathematicae», вернул в страну разъехавшихся, наладил издание книг.

Его двухтомная «Topologie» полвека была основным справочником по теории множеств и топологии и переведена на несколько языков, в том числе на русский.

Умер в Варшаве в июне 1980 года, восьмидесяти трёх лет.