Йохан Йенсен

Один из последних крупных математиков-любителей в том смысле, в каком любителем был Ферма: всё сделанное сделано помимо службы, и служба была настоящая.

Телефонная компания

Родился в 1859 году в Наксково на острове Лолланн, в семье управляющего имением. Семья часто переезжала; в Копенгагенском политехникуме он изучал физику, химию и математику, но курса не окончил и степени не получил.

В 1881 году поступил на службу в Kjøbenhavns Telefon Aktieselskab — Копенгагенскую телефонную компанию, где и проработал сорок три года: с 1890-го начальником технического отдела, с 1901-го главным инженером, до отставки в 1924 году.

Телефонная сеть в те годы была делом новым и трудным, и Йенсен занимался ею всерьёз — от расчёта линий до организации станций. Математику он вёл параллельно, по вечерам, и никогда не пытался переменить род занятий: предложения университетской карьеры отклонял.

Датское математическое общество тем не менее избрало его своим председателем и держало на этом посту одиннадцать лет, с 1892 по 1903 год.

Формула Йенсена

В 1899 году он напечатал в «Acta Mathematica» соотношение, связывающее среднее значение $\log|f|$ на окружности с нулями функции внутри неё:

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\left|f(re^{i\theta})\right|d\theta=\log|f(0)|+\sum_{|a_k|<r}\log\frac{r}{|a_k|}.$$

Из формулы Йенсена выросла вся теория распределения значений мероморфных функций — то, что через двадцать лет разовьёт Рольф Неванлинна. Занимался Йенсен ею не случайно: он много лет пытался подступиться к гипотезе Римана и рассматривал её как задачу о нулях целой функции.

Неравенство

Работа 1906 года — «Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes» — начинается с определения выпуклой функции через неравенство

$$f\!\left(\frac{x+y}{2}\right)\leqslant\frac{f(x)+f(y)}{2},$$

то есть без всяких производных, одним свойством середины. Отсюда выводится общий вид:

$$f\!\left(\sum \lambda_k x_k\right)\leqslant\sum \lambda_k f(x_k),\qquad \sum\lambda_k=1,\ \lambda_k\geqslant0,$$

и его вероятностная запись $f(E[X])\leqslant E[f(X)]$.

Ценность этого в том, что выпуклость оказывается общим источником неравенств. Подставляя разные выпуклые функции, из одного утверждения получают неравенство между средними, неравенство Гёльдера, неравенство между средним арифметическим и геометрическим, оценки в теории информации. То, что до Йенсена было набором отдельных фактов, стало следствиями одного свойства.

В теории информации, например, из него сразу следует, что энтропия максимальна при равномерном распределении — математическое выражение принципа недостаточного основания.

Однофамильцы

Датчан с этой фамилией в математике трое, и путают их регулярно. К. Л. Йенсен в 1915 году доказал, что нерегулярных простых чисел бесконечно много, — это другой человек. Кристиан Альбрехт Йенсен — портретист, чьи работы висят в подписях под портретами Гаусса и Бесселя, — третий и вовсе не математик.

Йохан Йенсен умер в Копенгагене в марте 1925 года, шестидесяти пяти лет, через несколько месяцев после того, как оставил службу.