Кость Ишанго

Предмет

В 1950 году бельгийский геолог Жан де Хейнзелин, работая в Ишанго — рыбацком поселении на берегу озера Эдуард, у истока Нила, на территории нынешней Демократической Республики Конго, — нашёл небольшую кость с зарубками. Это малоберцовая кость павиана длиной около десяти сантиметров, с закреплённым на конце острым кусочком кварца: скорее всего, рукоять инструмента для резьбы или письма.

Датировка со временем отодвинулась: сначала предполагали 6–9 тысяч лет до н. э., затем, после уточнения слоёв, — около 20 000 лет назад.

Зарубки нанесены тремя столбцами. Вот они:

Столбец	Группы зарубок	Сумма
Левый	11, 13, 17, 19	60
Правый	11, 21, 19, 9	60
Средний	3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7	48

Три чтения

Счётная палочка. Самое скромное объяснение: зарубки — учёт чего-то (добычи, дней, обменов), а группировка отражает порядок счёта. Никакой математики, только запись.

Лунный календарь. Александр Маршак в 1970-е предположил, что кость — календарная запись фаз луны; суммы столбцов (60, 60, 48) близки к двум лунным месяцам и к полутора. Гипотеза красивая, но опирается на подгонку: лунный месяц равен 29,5 суток, и получить его из этих чисел можно многими способами.

Арифметическая игра. Самое интересное чтение относится к среднему столбцу. Присмотритесь: $3\to6$, $4\to8$, $5\to10$ — это удвоения, и рядом стоят $5$ и $7$. Похоже на записанные результаты последовательных операций, а не на подсчёт предметов.

Простые числа. Левый столбец — $11,13,17,19$ — это все простые числа между десятью и двадцатью. Отсюда популярное утверждение, что двадцать тысяч лет назад люди знали простые числа.

Как отличить закономерность от проекции

Последнее чтение почти наверняка неверно, и полезно понять почему — навык годится далеко за пределами археологии.

Аргумент против первый: есть более простое объяснение. Посмотрите на правый столбец: $11,21,19,9$. Это в точности $10+1,\ 20+1,\ 20-1,\ 10-1$. Явная структура, привязанная к десятке. При таком чтении левый столбец $11,13,17,19$ — просто нечётные числа второго десятка без 15 (или какие-то результаты удвоений и сложений). То, что все нечётные числа от 11 до 19, кроме 15, оказываются простыми, — свойство арифметики, а не намерение резчика.

Аргумент против второй: нет следа понятия. Простое число — это не число с каким-то видимым признаком, а число, у которого нет делителей. Чтобы заметить такое свойство, нужно уметь делить и систематически проверять делимость. Ни малейших следов такого умения в верхнем палеолите не обнаружено, и появится оно, судя по всему, только у греков — через восемнадцать тысяч лет.

Аргумент против третий, методологический. В любом наборе из десятка небольших чисел найдётся какая-нибудь закономерность, если искать достаточно старательно. Проверка гипотезы требует предсказания: она должна объяснять и то, чего мы ещё не смотрели. Гипотеза о простых числах не объясняет ни средний, ни правый столбец; гипотеза о десятичной структуре объясняет правый и не противоречит левому.

Та же осторожность понадобится дальше в этой линии и в соседних: тот же спор идёт вокруг таблички Plimpton 322, где предположение о «тригонометрической таблице» историки отвергли по похожим основаниям.

Что здесь бесспорно

Как бы ни читать зарубки, одно несомненно и важно для всей линии.

Человек начал систематически работать с дискретным задолго до всякой теории. Зарубки — это счёт: взаимно однозначное соответствие между предметами и метками, то есть само понятие количества, отделённое от предметов. Группировка зарубок — это уже структура. Удвоения в среднем столбце, если они удвоения, — операция.

От этого до первой доказанной теоремы о числах — восемнадцать тысяч лет. Ни в одной другой линии карты разрыв между «люди этим занимаются» и «есть наука» не измеряется десятками тысячелетий.

Кость Ишанго не единственная. Есть кость Лебомбо (Свазиленд, около 43 тысяч лет назад) с 29 зарубками — почти лунный месяц; есть волчья кость из Дольни-Вестонице в Моравии (около 30 тысяч лет назад) с 55 зарубками, сгруппированными по пять. Группировка по пять и по десять — древнейший след того, что пальцев на руке пять; десятичная система, которой мы пользуемся, старше письменности на десятки тысяч лет.

Задача. Проверьте: сумма всех зарубок среднего столбца равна 48, левого и правого — по 60. Предположим, что резчик считал дни. Какие естественные периоды дают 60 и 48? И почему это соображение не доказывает календарную гипотезу?
(Указание: 60 — это два лунных месяца с округлением, но также и просто «пять раз по двенадцать» или «шесть раз по десять». Совпадение с календарём объясняет одно число из трёх, а альтернативные объяснения — все три. Гипотеза, объясняющая меньше, слабее.)

Следующая точка: Кайфын — где числа впервые расставят в таблицу, из которой видна закономерность.